Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7114 / 9241
↖ ↑ ↗
← N 78.033549°
W140.921631°		 ← 126.65 m → N 78.033549°
W140.916138°		 →
↑
126.59 m
↓
↑
126.59 m
↓
N 78.032410°
W140.921631°		 ← 126.67 m →
16 034 m²		 N 78.032410°
W140.916138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108558654785156 y=0.141014099121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108558654785156 × 216)
    floor (0.108558654785156 × 65536)
    floor (7114.5)     		tx = 7114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141014099121094 × 216)
    floor (0.141014099121094 × 65536)
    floor (9241.5)     		ty = 9241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7114 / 9241 ti = "16/7114/9241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7114/9241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7114 ÷ 216
    7114 ÷ 65536     		x = 0.108551025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9241 ÷ 216
    9241 ÷ 65536     		y = 0.141006469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108551025390625 × 2 - 1) × π
    -0.78289794921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.45954645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141006469726562 × 2 - 1) × π
    0.717987060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25562287472212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45954645} λ = -2.45954645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25562287472212))-π/2
    2×atan(9.54123445341957)-π/2
    2×1.46636934085198-π/2
    2.93273868170397-1.57079632675     		φ = 1.36194235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45954645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.921631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36194235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.033549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7114 KachelY 9241 -2.45954645 1.36194235 -140.921631 78.033549
    Oben rechts KachelX + 1 7115 KachelY 9241 -2.45945057 1.36194235 -140.916138 78.033549
    Unten links KachelX 7114 KachelY + 1 9242 -2.45954645 1.36192248 -140.921631 78.032410
    Unten rechts KachelX + 1 7115 KachelY + 1 9242 -2.45945057 1.36192248 -140.916138 78.032410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36194235-1.36192248) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dl = 126.59177000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36194235-1.36192248) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dr = 126.59177000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45954645--2.45945057) × cos(1.36194235) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207338917075475 × 6371000     		do = 126.653284357068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45954645--2.45945057) × cos(1.36192248) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207358355242997 × 6371000     		du = 126.665158190467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36194235)-sin(1.36192248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207338917075475-0.207358355242997)×R²
    abs(-2.45945057--2.45954645)×1.94381675218402e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.94381675218402e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.94381675218402e-05×40589641000000     		ar = 16034.015008231m²