Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7114 / 2202
↖ ↑ ↗
← N 78.516827°
W 23.686523°		 ← 486.40 m → N 78.516827°
W 23.664551°		 →
↑
486.49 m
↓
↑
486.49 m
↓
N 78.512452°
W 23.686523°		 ← 486.58 m →
236 671 m²		 N 78.512452°
W 23.664551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434234619140625 y=0.134429931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434234619140625 × 214)
    floor (0.434234619140625 × 16384)
    floor (7114.5)     		tx = 7114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134429931640625 × 214)
    floor (0.134429931640625 × 16384)
    floor (2202.5)     		ty = 2202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7114 / 2202 ti = "14/7114/2202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7114/2202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7114 ÷ 214
    7114 ÷ 16384     		x = 0.4342041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2202 ÷ 214
    2202 ÷ 16384     		y = 0.1343994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4342041015625 × 2 - 1) × π
    -0.131591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41340782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1343994140625 × 2 - 1) × π
    0.731201171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29713622979309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41340782} λ = -0.41340782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29713622979309))-π/2
    2×atan(9.94565954927934)-π/2
    2×1.4705867397324-π/2
    2.9411734794648-1.57079632675     		φ = 1.37037715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41340782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.686523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37037715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.516827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7114 KachelY 2202 -0.41340782 1.37037715 -23.686523 78.516827
    Oben rechts KachelX + 1 7115 KachelY 2202 -0.41302433 1.37037715 -23.664551 78.516827
    Unten links KachelX 7114 KachelY + 1 2203 -0.41340782 1.37030079 -23.686523 78.512452
    Unten rechts KachelX + 1 7115 KachelY + 1 2203 -0.41302433 1.37030079 -23.664551 78.512452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37037715-1.37030079) × R
    7.63599999999975e-05 × 6371000     		dl = 486.489559999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37037715-1.37030079) × R
    7.63599999999975e-05 × 6371000     		dr = 486.489559999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41340782--0.41302433) × cos(1.37037715) × R
    0.000383489999999986 × 0.199080134495902 × 6371000     		do = 486.39552899556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41340782--0.41302433) × cos(1.37030079) × R
    0.000383489999999986 × 0.19915496543366 × 6371000     		du = 486.57835704944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37037715)-sin(1.37030079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199080134495902-0.19915496543366)×R²
    abs(-0.41302433--0.41340782)×7.48309377579248e-05×R²
    0.000383489999999986×7.48309377579248e-05×6371000²
    0.000383489999999986×7.48309377579248e-05×40589641000000     		ar = 236670.81897177m²