Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7114 / 2198
↖ ↑ ↗
← N 78.534311°
W 23.686523°		 ← 485.66 m → N 78.534311°
W 23.664551°		 →
↑
485.79 m
↓
↑
485.79 m
↓
N 78.529943°
W 23.686523°		 ← 485.85 m →
235 975 m²		 N 78.529943°
W 23.664551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434234619140625 y=0.134185791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434234619140625 × 214)
    floor (0.434234619140625 × 16384)
    floor (7114.5)     		tx = 7114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134185791015625 × 214)
    floor (0.134185791015625 × 16384)
    floor (2198.5)     		ty = 2198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7114 / 2198 ti = "14/7114/2198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7114/2198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7114 ÷ 214
    7114 ÷ 16384     		x = 0.4342041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2198 ÷ 214
    2198 ÷ 16384     		y = 0.1341552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4342041015625 × 2 - 1) × π
    -0.131591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41340782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1341552734375 × 2 - 1) × π
    0.731689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.29867021058093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41340782} λ = -0.41340782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29867021058093))-π/2
    2×atan(9.96092770748708)-π/2
    2×1.47073931756682-π/2
    2.94147863513363-1.57079632675     		φ = 1.37068231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41340782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.686523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37068231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.534311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7114 KachelY 2198 -0.41340782 1.37068231 -23.686523 78.534311
    Oben rechts KachelX + 1 7115 KachelY 2198 -0.41302433 1.37068231 -23.664551 78.534311
    Unten links KachelX 7114 KachelY + 1 2199 -0.41340782 1.37060606 -23.686523 78.529943
    Unten rechts KachelX + 1 7115 KachelY + 1 2199 -0.41302433 1.37060606 -23.664551 78.529943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37068231-1.37060606) × R
    7.62499999999999e-05 × 6371000     		dl = 485.78875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37068231-1.37060606) × R
    7.62499999999999e-05 × 6371000     		dr = 485.78875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41340782--0.41302433) × cos(1.37068231) × R
    0.000383489999999986 × 0.198781073553476 × 6371000     		do = 485.664858877913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41340782--0.41302433) × cos(1.37060606) × R
    0.000383489999999986 × 0.198855801324428 × 6371000     		du = 485.847434873127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37068231)-sin(1.37060606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198781073553476-0.198855801324428)×R²
    abs(-0.41302433--0.41340782)×7.47277709518823e-05×R²
    0.000383489999999986×7.47277709518823e-05×6371000²
    0.000383489999999986×7.47277709518823e-05×40589641000000     		ar = 235974.871510261m²