Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71136 / 96864
↖ ↑ ↗
← S 64.886265°
E 15.380859°		 ← 129.60 m → S 64.886265°
E 15.383606°		 →
↑
129.65 m
↓
↑
129.65 m
↓
S 64.887431°
E 15.380859°		 ← 129.60 m →
16 802 m²		 S 64.887431°
E 15.383606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542728424072266 y=0.739017486572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542728424072266 × 217)
    floor (0.542728424072266 × 131072)
    floor (71136.5)     		tx = 71136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739017486572266 × 217)
    floor (0.739017486572266 × 131072)
    floor (96864.5)     		ty = 96864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71136 / 96864 ti = "17/71136/96864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71136/96864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71136 ÷ 217
    71136 ÷ 131072     		x = 0.542724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96864 ÷ 217
    96864 ÷ 131072     		y = 0.739013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542724609375 × 2 - 1) × π
    0.08544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26844664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739013671875 × 2 - 1) × π
    -0.47802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50176719129712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26844664} λ = 0.26844664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50176719129712))-π/2
    2×atan(0.222736194679993)-π/2
    2×0.219158678050316-π/2
    0.438317356100632-1.57079632675     		φ = -1.13247897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26844664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.380859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13247897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.886265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71136 KachelY 96864 0.26844664 -1.13247897 15.380859 -64.886265
    Oben rechts KachelX + 1 71137 KachelY 96864 0.26849457 -1.13247897 15.383606 -64.886265
    Unten links KachelX 71136 KachelY + 1 96865 0.26844664 -1.13249932 15.380859 -64.887431
    Unten rechts KachelX + 1 71137 KachelY + 1 96865 0.26849457 -1.13249932 15.383606 -64.887431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13247897--1.13249932) × R
    2.03500000000023e-05 × 6371000     		dl = 129.649850000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13247897--1.13249932) × R
    2.03500000000023e-05 × 6371000     		dr = 129.649850000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26844664-0.26849457) × cos(-1.13247897) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.424416488567418 × 6371000     		do = 129.600680514348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26844664-0.26849457) × cos(-1.13249932) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.424398062224334 × 6371000     		du = 129.595053808818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13247897)-sin(-1.13249932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424416488567418-0.424398062224334)×R²
    abs(0.26849457-0.26844664)×1.84263430835774e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.84263430835774e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.84263430835774e-05×40589641000000     		ar = 16802.3440384291m²