Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71135 / 96290
↖ ↑ ↗
← S 64.208767°
E 15.378113°		 ← 132.89 m → S 64.208767°
E 15.380859°		 →
↑
132.90 m
↓
↑
132.90 m
↓
S 64.209963°
E 15.378113°		 ← 132.88 m →
17 660 m²		 S 64.209963°
E 15.380859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542720794677734 y=0.734638214111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542720794677734 × 217)
    floor (0.542720794677734 × 131072)
    floor (71135.5)     		tx = 71135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734638214111328 × 217)
    floor (0.734638214111328 × 131072)
    floor (96290.5)     		ty = 96290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71135 / 96290 ti = "17/71135/96290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71135/96290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71135 ÷ 217
    71135 ÷ 131072     		x = 0.542716979980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96290 ÷ 217
    96290 ÷ 131072     		y = 0.734634399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542716979980469 × 2 - 1) × π
    0.0854339599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26839870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734634399414062 × 2 - 1) × π
    -0.469268798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47425141091521
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26839870} λ = 0.26839870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47425141091521))-π/2
    2×atan(0.228950052421274)-π/2
    2×0.225070963645419-π/2
    0.450141927290839-1.57079632675     		φ = -1.12065440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26839870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.378113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12065440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.208767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71135 KachelY 96290 0.26839870 -1.12065440 15.378113 -64.208767
    Oben rechts KachelX + 1 71136 KachelY 96290 0.26844664 -1.12065440 15.380859 -64.208767
    Unten links KachelX 71135 KachelY + 1 96291 0.26839870 -1.12067526 15.378113 -64.209963
    Unten rechts KachelX + 1 71136 KachelY + 1 96291 0.26844664 -1.12067526 15.380859 -64.209963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12065440--1.12067526) × R
    2.08600000000114e-05 × 6371000     		dl = 132.899060000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12065440--1.12067526) × R
    2.08600000000114e-05 × 6371000     		dr = 132.899060000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26839870-0.26844664) × cos(-1.12065440) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.43509332730121 × 6371000     		do = 132.888701460101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26839870-0.26844664) × cos(-1.12067526) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.435074545167938 × 6371000     		du = 132.882964913148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12065440)-sin(-1.12067526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43509332730121-0.435074545167938)×R²
    abs(0.26844664-0.26839870)×1.87821332717775e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.87821332717775e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.87821332717775e-05×40589641000000     		ar = 17660.4023186033m²