Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71135 / 62741
↖ ↑ ↗
← N  7.653831°
E 15.378113°		 ← 302.70 m → N  7.653831°
E 15.380859°		 →
↑
302.69 m
↓
↑
302.69 m
↓
N  7.651109°
E 15.378113°		 ← 302.71 m →
91 625 m²		 N  7.651109°
E 15.380859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542720794677734 y=0.478679656982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542720794677734 × 217)
    floor (0.542720794677734 × 131072)
    floor (71135.5)     		tx = 71135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478679656982422 × 217)
    floor (0.478679656982422 × 131072)
    floor (62741.5)     		ty = 62741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71135 / 62741 ti = "17/71135/62741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71135/62741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71135 ÷ 217
    71135 ÷ 131072     		x = 0.542716979980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62741 ÷ 217
    62741 ÷ 131072     		y = 0.478675842285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542716979980469 × 2 - 1) × π
    0.0854339599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26839870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478675842285156 × 2 - 1) × π
    0.0426483154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.133983634438057
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26839870} λ = 0.26839870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.133983634438057))-π/2
    2×atan(1.14337410753175)-π/2
    2×0.852190440275506-π/2
    1.70438088055101-1.57079632675     		φ = 0.13358455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26839870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.378113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13358455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.653831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71135 KachelY 62741 0.26839870 0.13358455 15.378113 7.653831
    Oben rechts KachelX + 1 71136 KachelY 62741 0.26844664 0.13358455 15.380859 7.653831
    Unten links KachelX 71135 KachelY + 1 62742 0.26839870 0.13353704 15.378113 7.651109
    Unten rechts KachelX + 1 71136 KachelY + 1 62742 0.26844664 0.13353704 15.380859 7.651109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13358455-0.13353704) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dl = 302.686210000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13358455-0.13353704) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dr = 302.686210000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26839870-0.26844664) × cos(0.13358455) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.99109084436205 × 6371000     		do = 302.704654546656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26839870-0.26844664) × cos(0.13353704) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.991097170986633 × 6371000     		du = 302.706586860651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13358455)-sin(0.13353704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99109084436205-0.991097170986633)×R²
    abs(0.26844664-0.26839870)×6.3266245831084e-06×R²
    4.79400000000241e-05×6.3266245831084e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×6.3266245831084e-06×40589641000000     		ar = 91624.8170937268m²