Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7112 / 9192
↖ ↑ ↗
← N 78.089229°
W140.932617°		 ← 126.06 m → N 78.089229°
W140.927124°		 →
↑
126.08 m
↓
↑
126.08 m
↓
N 78.088095°
W140.932617°		 ← 126.07 m →
15 895 m²		 N 78.088095°
W140.927124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108528137207031 y=0.140266418457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108528137207031 × 216)
    floor (0.108528137207031 × 65536)
    floor (7112.5)     		tx = 7112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140266418457031 × 216)
    floor (0.140266418457031 × 65536)
    floor (9192.5)     		ty = 9192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7112 / 9192 ti = "16/7112/9192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7112/9192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7112 ÷ 216
    7112 ÷ 65536     		x = 0.1085205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9192 ÷ 216
    9192 ÷ 65536     		y = 0.1402587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1085205078125 × 2 - 1) × π
    -0.782958984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45973819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1402587890625 × 2 - 1) × π
    0.719482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26032069088489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45973819} λ = -2.45973819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26032069088489))-π/2
    2×atan(9.58616286893702)-π/2
    2×1.46685524342843-π/2
    2.93371048685685-1.57079632675     		φ = 1.36291416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45973819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.932617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36291416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.089229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7112 KachelY 9192 -2.45973819 1.36291416 -140.932617 78.089229
    Oben rechts KachelX + 1 7113 KachelY 9192 -2.45964232 1.36291416 -140.927124 78.089229
    Unten links KachelX 7112 KachelY + 1 9193 -2.45973819 1.36289437 -140.932617 78.088095
    Unten rechts KachelX + 1 7113 KachelY + 1 9193 -2.45964232 1.36289437 -140.927124 78.088095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36291416-1.36289437) × R
    1.9790000000075e-05 × 6371000     		dl = 126.082090000478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36291416-1.36289437) × R
    1.9790000000075e-05 × 6371000     		dr = 126.082090000478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45973819--2.45964232) × cos(1.36291416) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206388127553836 × 6371000     		do = 126.05934418308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45973819--2.45964232) × cos(1.36289437) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206407491438764 × 6371000     		du = 126.071171407174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36291416)-sin(1.36289437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206388127553836-0.206407491438764)×R²
    abs(-2.45964232--2.45973819)×1.93638849275979e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.93638849275979e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.93638849275979e-05×40589641000000     		ar = 15894.5711794701m²