Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71118 / 95833
↖ ↑ ↗
← S 63.657230°
E 15.331421°		 ← 135.53 m → S 63.657230°
E 15.334167°		 →
↑
135.51 m
↓
↑
135.51 m
↓
S 63.658449°
E 15.331421°		 ← 135.52 m →
18 365 m²		 S 63.658449°
E 15.334167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542591094970703 y=0.731151580810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542591094970703 × 217)
    floor (0.542591094970703 × 131072)
    floor (71118.5)     		tx = 71118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731151580810547 × 217)
    floor (0.731151580810547 × 131072)
    floor (95833.5)     		ty = 95833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71118 / 95833 ti = "17/71118/95833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71118/95833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71118 ÷ 217
    71118 ÷ 131072     		x = 0.542587280273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95833 ÷ 217
    95833 ÷ 131072     		y = 0.731147766113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542587280273438 × 2 - 1) × π
    0.085174560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26758377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731147766113281 × 2 - 1) × π
    -0.462295532226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.45234424778884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26758377} λ = 0.26758377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45234424778884))-π/2
    2×atan(0.234021041251486)-π/2
    2×0.229884033238219-π/2
    0.459768066476439-1.57079632675     		φ = -1.11102826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26758377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.331421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11102826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.657230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71118 KachelY 95833 0.26758377 -1.11102826 15.331421 -63.657230
    Oben rechts KachelX + 1 71119 KachelY 95833 0.26763171 -1.11102826 15.334167 -63.657230
    Unten links KachelX 71118 KachelY + 1 95834 0.26758377 -1.11104953 15.331421 -63.658449
    Unten rechts KachelX + 1 71119 KachelY + 1 95834 0.26763171 -1.11104953 15.334167 -63.658449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11102826--1.11104953) × R
    2.12699999999622e-05 × 6371000     		dl = 135.511169999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11102826--1.11104953) × R
    2.12699999999622e-05 × 6371000     		dr = 135.511169999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26758377-0.26763171) × cos(-1.11102826) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.443740270699038 × 6371000     		do = 135.529700546122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26758377-0.26763171) × cos(-1.11104953) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.44372120937246 × 6371000     		du = 135.523878726346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11102826)-sin(-1.11104953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443740270699038-0.44372120937246)×R²
    abs(0.26763171-0.26758377)×1.90613265785289e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90613265785289e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90613265785289e-05×40589641000000     		ar = 18365.3938306787m²