Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71117 / 96045
↖ ↑ ↗
← S 63.914436°
E 15.328675°		 ← 134.27 m → S 63.914436°
E 15.331421°		 →
↑
134.30 m
↓
↑
134.30 m
↓
S 63.915643°
E 15.328675°		 ← 134.27 m →
18 032 m²		 S 63.915643°
E 15.331421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542583465576172 y=0.732769012451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542583465576172 × 217)
    floor (0.542583465576172 × 131072)
    floor (71117.5)     		tx = 71117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732769012451172 × 217)
    floor (0.732769012451172 × 131072)
    floor (96045.5)     		ty = 96045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71117 / 96045 ti = "17/71117/96045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71117/96045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71117 ÷ 217
    71117 ÷ 131072     		x = 0.542579650878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96045 ÷ 217
    96045 ÷ 131072     		y = 0.732765197753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542579650878906 × 2 - 1) × π
    0.0851593017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.26753584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732765197753906 × 2 - 1) × π
    -0.465530395507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.46250687050829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26753584} λ = 0.26753584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46250687050829))-π/2
    2×atan(0.231654817585076)-π/2
    2×0.227639494696947-π/2
    0.455278989393893-1.57079632675     		φ = -1.11551734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26753584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.328675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11551734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.914436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71117 KachelY 96045 0.26753584 -1.11551734 15.328675 -63.914436
    Oben rechts KachelX + 1 71118 KachelY 96045 0.26758377 -1.11551734 15.331421 -63.914436
    Unten links KachelX 71117 KachelY + 1 96046 0.26753584 -1.11553842 15.328675 -63.915643
    Unten rechts KachelX + 1 71118 KachelY + 1 96046 0.26758377 -1.11553842 15.331421 -63.915643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11551734--1.11553842) × R
    2.10800000000066e-05 × 6371000     		dl = 134.300680000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11551734--1.11553842) × R
    2.10800000000066e-05 × 6371000     		dr = 134.300680000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26753584-0.26758377) × cos(-1.11551734) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.439712899665361 × 6371000     		do = 134.271623658928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26753584-0.26758377) × cos(-1.11553842) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.439693966810424 × 6371000     		du = 134.26584228391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11551734)-sin(-1.11553842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439712899665361-0.439693966810424)×R²
    abs(0.26758377-0.26753584)×1.89328549364265e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.89328549364265e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.89328549364265e-05×40589641000000     		ar = 18032.3821415757m²