Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71116 / 62738
↖ ↑ ↗
← N  7.661997°
E 15.325928°		 ← 302.70 m → N  7.661997°
E 15.328675°		 →
↑
302.69 m
↓
↑
302.69 m
↓
N  7.659275°
E 15.325928°		 ← 302.70 m →
91 623 m²		 N  7.659275°
E 15.328675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542575836181641 y=0.478656768798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542575836181641 × 217)
    floor (0.542575836181641 × 131072)
    floor (71116.5)     		tx = 71116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478656768798828 × 217)
    floor (0.478656768798828 × 131072)
    floor (62738.5)     		ty = 62738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71116 / 62738 ti = "17/71116/62738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71116/62738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71116 ÷ 217
    71116 ÷ 131072     		x = 0.542572021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62738 ÷ 217
    62738 ÷ 131072     		y = 0.478652954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542572021484375 × 2 - 1) × π
    0.08514404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26748790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478652954101562 × 2 - 1) × π
    0.042694091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.134127445136917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26748790} λ = 0.26748790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.134127445136917))-π/2
    2×atan(1.14353854878513)-π/2
    2×0.852261704326219-π/2
    1.70452340865244-1.57079632675     		φ = 0.13372708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26748790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.325928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13372708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.661997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71116 KachelY 62738 0.26748790 0.13372708 15.325928 7.661997
    Oben rechts KachelX + 1 71117 KachelY 62738 0.26753584 0.13372708 15.328675 7.661997
    Unten links KachelX 71116 KachelY + 1 62739 0.26748790 0.13367957 15.325928 7.659275
    Unten rechts KachelX + 1 71117 KachelY + 1 62739 0.26753584 0.13367957 15.328675 7.659275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13372708-0.13367957) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dl = 302.686210000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13372708-0.13367957) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dr = 302.686210000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26748790-0.26753584) × cos(0.13372708) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.991071851065816 × 6371000     		do = 302.698853505099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26748790-0.26753584) × cos(0.13367957) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.991078184401627 × 6371000     		du = 302.700787868876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13372708)-sin(0.13367957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991071851065816-0.991078184401627)×R²
    abs(0.26753584-0.26748790)×6.33333581134821e-06×R²
    4.79400000000241e-05×6.33333581134821e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×6.33333581134821e-06×40589641000000     		ar = 91623.0615086564m²