Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7111 / 9242
↖ ↑ ↗
← N 78.032410°
W140.938111°		 ← 126.67 m → N 78.032410°
W140.932617°		 →
↑
126.72 m
↓
↑
126.72 m
↓
N 78.031271°
W140.938111°		 ← 126.68 m →
16 052 m²		 N 78.031271°
W140.932617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108512878417969 y=0.141029357910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108512878417969 × 216)
    floor (0.108512878417969 × 65536)
    floor (7111.5)     		tx = 7111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141029357910156 × 216)
    floor (0.141029357910156 × 65536)
    floor (9242.5)     		ty = 9242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7111 / 9242 ti = "16/7111/9242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7111/9242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7111 ÷ 216
    7111 ÷ 65536     		x = 0.108505249023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9242 ÷ 216
    9242 ÷ 65536     		y = 0.141021728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108505249023438 × 2 - 1) × π
    -0.782989501953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.45983407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141021728515625 × 2 - 1) × π
    0.71795654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25552700092288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45983407} λ = -2.45983407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25552700092288))-π/2
    2×atan(9.54031974287217)-π/2
    2×1.46635940120124-π/2
    2.93271880240249-1.57079632675     		φ = 1.36192248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45983407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.938111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36192248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.032410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7111 KachelY 9242 -2.45983407 1.36192248 -140.938111 78.032410
    Oben rechts KachelX + 1 7112 KachelY 9242 -2.45973819 1.36192248 -140.932617 78.032410
    Unten links KachelX 7111 KachelY + 1 9243 -2.45983407 1.36190259 -140.938111 78.031271
    Unten rechts KachelX + 1 7112 KachelY + 1 9243 -2.45973819 1.36190259 -140.932617 78.031271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36192248-1.36190259) × R
    1.98900000001334e-05 × 6371000     		dl = 126.71919000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36192248-1.36190259) × R
    1.98900000001334e-05 × 6371000     		dr = 126.71919000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45983407--2.45973819) × cos(1.36192248) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207358355242997 × 6371000     		do = 126.665158190467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45983407--2.45973819) × cos(1.36190259) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207377812893869 × 6371000     		du = 126.6770439253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36192248)-sin(1.36190259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207358355242997-0.207377812893869)×R²
    abs(-2.45973819--2.45983407)×1.94576508719402e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.94576508719402e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.94576508719402e-05×40589641000000     		ar = 16051.6593229754m²