Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7111 / 2199
↖ ↑ ↗
← N 78.529943°
W 23.752442°		 ← 485.86 m → N 78.529943°
W 23.730469°		 →
↑
485.92 m
↓
↑
485.92 m
↓
N 78.525573°
W 23.752442°		 ← 486.04 m →
236 132 m²		 N 78.525573°
W 23.730469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434051513671875 y=0.134246826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434051513671875 × 214)
    floor (0.434051513671875 × 16384)
    floor (7111.5)     		tx = 7111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134246826171875 × 214)
    floor (0.134246826171875 × 16384)
    floor (2199.5)     		ty = 2199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7111 / 2199 ti = "14/7111/2199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7111/2199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7111 ÷ 214
    7111 ÷ 16384     		x = 0.43402099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2199 ÷ 214
    2199 ÷ 16384     		y = 0.13421630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43402099609375 × 2 - 1) × π
    -0.1319580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.41455831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13421630859375 × 2 - 1) × π
    0.7315673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.29828671538397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41455831} λ = -0.41455831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29828671538397))-π/2
    2×atan(9.95710847193004)-π/2
    2×1.4707011946094-π/2
    2.94140238921881-1.57079632675     		φ = 1.37060606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41455831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.752442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37060606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.529943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7111 KachelY 2199 -0.41455831 1.37060606 -23.752442 78.529943
    Oben rechts KachelX + 1 7112 KachelY 2199 -0.41417481 1.37060606 -23.730469 78.529943
    Unten links KachelX 7111 KachelY + 1 2200 -0.41455831 1.37052979 -23.752442 78.525573
    Unten rechts KachelX + 1 7112 KachelY + 1 2200 -0.41417481 1.37052979 -23.730469 78.525573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37060606-1.37052979) × R
    7.62700000001004e-05 × 6371000     		dl = 485.91617000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37060606-1.37052979) × R
    7.62700000001004e-05 × 6371000     		dr = 485.91617000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41455831--0.41417481) × cos(1.37060606) × R
    0.000383499999999981 × 0.198855801324428 × 6371000     		do = 485.860103976222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41455831--0.41417481) × cos(1.37052979) × R
    0.000383499999999981 × 0.198930547539492 × 6371000     		du = 486.042729796444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37060606)-sin(1.37052979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198855801324428-0.198930547539492)×R²
    abs(-0.41417481--0.41455831)×7.4746215063759e-05×R²
    0.000383499999999981×7.4746215063759e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.4746215063759e-05×40589641000000     		ar = 236131.651414504m²