Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7111 / 1206
↖ ↑ ↗
← N 77.561042°
E132.495117°		 ← 1 052.55 m → N 77.561042°
E132.539063°		 →
↑
1 052.94 m
↓
↑
1 052.94 m
↓
N 77.551572°
E132.495117°		 ← 1 053.34 m →
1 108 680 m²		 N 77.551572°
E132.539063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.86810302734375 y=0.14727783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.86810302734375 × 213)
    floor (0.86810302734375 × 8192)
    floor (7111.5)     		tx = 7111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14727783203125 × 213)
    floor (0.14727783203125 × 8192)
    floor (1206.5)     		ty = 1206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7111 / 1206 ti = "13/7111/1206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7111/1206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7111 ÷ 213
    7111 ÷ 8192     		x = 0.8680419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1206 ÷ 213
    1206 ÷ 8192     		y = 0.147216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8680419921875 × 2 - 1) × π
    0.736083984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.31247604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147216796875 × 2 - 1) × π
    0.70556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2166022384314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31247604} λ = 2.31247604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2166022384314))-π/2
    2×atan(9.17609963909427)-π/2
    2×1.4622459381396-π/2
    2.9244918762792-1.57079632675     		φ = 1.35369555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31247604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.495117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35369555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.561042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7111 KachelY 1206 2.31247604 1.35369555 132.495117 77.561042
    Oben rechts KachelX + 1 7112 KachelY 1206 2.31324303 1.35369555 132.539063 77.561042
    Unten links KachelX 7111 KachelY + 1 1207 2.31247604 1.35353028 132.495117 77.551572
    Unten rechts KachelX + 1 7112 KachelY + 1 1207 2.31324303 1.35353028 132.539063 77.551572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35369555-1.35353028) × R
    0.000165270000000106 × 6371000     		dl = 1052.93517000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35369555-1.35353028) × R
    0.000165270000000106 × 6371000     		dr = 1052.93517000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31247604-2.31324303) × cos(1.35369555) × R
    0.000766990000000245 × 0.215399365350259 × 6371000     		do = 1052.54755345464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31247604-2.31324303) × cos(1.35353028) × R
    0.000766990000000245 × 0.215560752866987 × 6371000     		du = 1053.33617247222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35369555)-sin(1.35353028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215399365350259-0.215560752866987)×R²
    abs(2.31324303-2.31247604)×0.000161387516727673×R²
    0.000766990000000245×0.000161387516727673×6371000²
    0.000766990000000245×0.000161387516727673×40589641000000     		ar = 1108679.52200629m²