Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71104 / 96447
↖ ↑ ↗
← S 64.395751°
E 15.292969°		 ← 131.96 m → S 64.395751°
E 15.295715°		 →
↑
131.94 m
↓
↑
131.94 m
↓
S 64.396938°
E 15.292969°		 ← 131.96 m →
17 411 m²		 S 64.396938°
E 15.295715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542484283447266 y=0.735836029052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542484283447266 × 217)
    floor (0.542484283447266 × 131072)
    floor (71104.5)     		tx = 71104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735836029052734 × 217)
    floor (0.735836029052734 × 131072)
    floor (96447.5)     		ty = 96447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71104 / 96447 ti = "17/71104/96447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71104/96447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71104 ÷ 217
    71104 ÷ 131072     		x = 0.54248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96447 ÷ 217
    96447 ÷ 131072     		y = 0.735832214355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54248046875 × 2 - 1) × π
    0.0849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26691266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735832214355469 × 2 - 1) × π
    -0.471664428710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.48177750415556
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26691266} λ = 0.26691266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48177750415556))-π/2
    2×atan(0.227233420846804)-π/2
    2×0.223439224968253-π/2
    0.446878449936505-1.57079632675     		φ = -1.12391788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26691266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.292969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12391788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.395751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71104 KachelY 96447 0.26691266 -1.12391788 15.292969 -64.395751
    Oben rechts KachelX + 1 71105 KachelY 96447 0.26696059 -1.12391788 15.295715 -64.395751
    Unten links KachelX 71104 KachelY + 1 96448 0.26691266 -1.12393859 15.292969 -64.396938
    Unten rechts KachelX + 1 71105 KachelY + 1 96448 0.26696059 -1.12393859 15.295715 -64.396938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12391788--1.12393859) × R
    2.07100000000349e-05 × 6371000     		dl = 131.943410000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12391788--1.12393859) × R
    2.07100000000349e-05 × 6371000     		dr = 131.943410000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26691266-0.26696059) × cos(-1.12391788) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.432152625966731 × 6371000     		do = 131.96300313496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26691266-0.26696059) × cos(-1.12393859) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.432133949586091 × 6371000     		du = 131.957300077454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12391788)-sin(-1.12393859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432152625966731-0.432133949586091)×R²
    abs(0.26696059-0.26691266)×1.86763806400703e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.86763806400703e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.86763806400703e-05×40589641000000     		ar = 17411.2723877447m²