Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71100 / 96444
↖ ↑ ↗
← S 64.392190°
E 15.281982°		 ← 132.01 m → S 64.392190°
E 15.284729°		 →
↑
132.01 m
↓
↑
132.01 m
↓
S 64.393377°
E 15.281982°		 ← 132 m →
17 426 m²		 S 64.393377°
E 15.284729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542453765869141 y=0.735813140869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542453765869141 × 217)
    floor (0.542453765869141 × 131072)
    floor (71100.5)     		tx = 71100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735813140869141 × 217)
    floor (0.735813140869141 × 131072)
    floor (96444.5)     		ty = 96444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71100 / 96444 ti = "17/71100/96444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71100/96444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71100 ÷ 217
    71100 ÷ 131072     		x = 0.542449951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96444 ÷ 217
    96444 ÷ 131072     		y = 0.735809326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542449951171875 × 2 - 1) × π
    0.08489990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26672091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735809326171875 × 2 - 1) × π
    -0.47161865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4816336934567
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26672091} λ = 0.26672091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4816336934567))-π/2
    2×atan(0.227266101793739)-π/2
    2×0.223470301069077-π/2
    0.446940602138155-1.57079632675     		φ = -1.12385572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26672091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.281982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12385572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.392190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71100 KachelY 96444 0.26672091 -1.12385572 15.281982 -64.392190
    Oben rechts KachelX + 1 71101 KachelY 96444 0.26676885 -1.12385572 15.284729 -64.392190
    Unten links KachelX 71100 KachelY + 1 96445 0.26672091 -1.12387644 15.281982 -64.393377
    Unten rechts KachelX + 1 71101 KachelY + 1 96445 0.26676885 -1.12387644 15.284729 -64.393377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12385572--1.12387644) × R
    2.07200000001961e-05 × 6371000     		dl = 132.00712000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12385572--1.12387644) × R
    2.07200000001961e-05 × 6371000     		dr = 132.00712000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26672091-0.26676885) × cos(-1.12385572) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.432208681049716 × 6371000     		do = 132.0076562441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26672091-0.26676885) × cos(-1.12387644) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.432189996207599 × 6371000     		du = 132.001949412369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12385572)-sin(-1.12387644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432208681049716-0.432189996207599)×R²
    abs(0.26676885-0.26672091)×1.86848421173114e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.86848421173114e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.86848421173114e-05×40589641000000     		ar = 17425.5738482393m²