Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7110 / 9175
↖ ↑ ↗
← N 78.108487°
W140.943603°		 ← 125.86 m → N 78.108487°
W140.938111°		 →
↑
125.83 m
↓
↑
125.83 m
↓
N 78.107355°
W140.943603°		 ← 125.87 m →
15 837 m²		 N 78.107355°
W140.938111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108497619628906 y=0.140007019042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108497619628906 × 216)
    floor (0.108497619628906 × 65536)
    floor (7110.5)     		tx = 7110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140007019042969 × 216)
    floor (0.140007019042969 × 65536)
    floor (9175.5)     		ty = 9175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7110 / 9175 ti = "16/7110/9175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7110/9175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7110 ÷ 216
    7110 ÷ 65536     		x = 0.108489990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9175 ÷ 216
    9175 ÷ 65536     		y = 0.139999389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108489990234375 × 2 - 1) × π
    -0.78302001953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.45992994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139999389648438 × 2 - 1) × π
    0.720001220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26195054547197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45992994} λ = -2.45992994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26195054547197))-π/2
    2×atan(9.60179965984767)-π/2
    2×1.46702330070194-π/2
    2.93404660140388-1.57079632675     		φ = 1.36325027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45992994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.943603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36325027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.108487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7110 KachelY 9175 -2.45992994 1.36325027 -140.943603 78.108487
    Oben rechts KachelX + 1 7111 KachelY 9175 -2.45983407 1.36325027 -140.938111 78.108487
    Unten links KachelX 7110 KachelY + 1 9176 -2.45992994 1.36323052 -140.943603 78.107355
    Unten rechts KachelX + 1 7111 KachelY + 1 9176 -2.45983407 1.36323052 -140.938111 78.107355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36325027-1.36323052) × R
    1.97500000000961e-05 × 6371000     		dl = 125.827250000612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36325027-1.36323052) × R
    1.97500000000961e-05 × 6371000     		dr = 125.827250000612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45992994--2.45983407) × cos(1.36325027) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206059242281817 × 6371000     		do = 125.858465081198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45992994--2.45983407) × cos(1.36323052) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206078568397113 × 6371000     		du = 125.870269236062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36325027)-sin(1.36323052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206059242281817-0.206078568397113)×R²
    abs(-2.45983407--2.45992994)×1.9326115295204e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.9326115295204e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.9326115295204e-05×40589641000000     		ar = 15837.1671932828m²