Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71095 / 96089
↖ ↑ ↗
← S 63.967524°
E 15.268249°		 ← 134.05 m → S 63.967524°
E 15.270996°		 →
↑
134.05 m
↓
↑
134.05 m
↓
S 63.968730°
E 15.268249°		 ← 134.04 m →
17 968 m²		 S 63.968730°
E 15.270996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542415618896484 y=0.733104705810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542415618896484 × 217)
    floor (0.542415618896484 × 131072)
    floor (71095.5)     		tx = 71095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733104705810547 × 217)
    floor (0.733104705810547 × 131072)
    floor (96089.5)     		ty = 96089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71095 / 96089 ti = "17/71095/96089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71095/96089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71095 ÷ 217
    71095 ÷ 131072     		x = 0.542411804199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96089 ÷ 217
    96089 ÷ 131072     		y = 0.733100891113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542411804199219 × 2 - 1) × π
    0.0848236083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26648122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733100891113281 × 2 - 1) × π
    -0.466201782226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.46461609409158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26648122} λ = 0.26648122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46461609409158))-π/2
    2×atan(0.231166720714315)-π/2
    2×0.22717620731044-π/2
    0.45435241462088-1.57079632675     		φ = -1.11644391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26648122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.268249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11644391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.967524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71095 KachelY 96089 0.26648122 -1.11644391 15.268249 -63.967524
    Oben rechts KachelX + 1 71096 KachelY 96089 0.26652916 -1.11644391 15.270996 -63.967524
    Unten links KachelX 71095 KachelY + 1 96090 0.26648122 -1.11646495 15.268249 -63.968730
    Unten rechts KachelX + 1 71096 KachelY + 1 96090 0.26652916 -1.11646495 15.270996 -63.968730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11644391--1.11646495) × R
    2.10399999998057e-05 × 6371000     		dl = 134.045839998762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11644391--1.11646495) × R
    2.10399999998057e-05 × 6371000     		dr = 134.045839998762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26648122-0.26652916) × cos(-1.11644391) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.438880522943528 × 6371000     		do = 134.045408491526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26648122-0.26652916) × cos(-1.11646495) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.438861617450577 × 6371000     		du = 134.039634267352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11644391)-sin(-1.11646495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438880522943528-0.438861617450577)×R²
    abs(0.26652916-0.26648122)×1.89054929504162e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.89054929504162e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.89054929504162e-05×40589641000000     		ar = 17967.8423745459m²