Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71094 / 96046
↖ ↑ ↗
← S 63.915643°
E 15.265503°		 ← 134.27 m → S 63.915643°
E 15.268249°		 →
↑
134.24 m
↓
↑
134.24 m
↓
S 63.916851°
E 15.265503°		 ← 134.26 m →
18 023 m²		 S 63.916851°
E 15.268249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542407989501953 y=0.732776641845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542407989501953 × 217)
    floor (0.542407989501953 × 131072)
    floor (71094.5)     		tx = 71094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732776641845703 × 217)
    floor (0.732776641845703 × 131072)
    floor (96046.5)     		ty = 96046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71094 / 96046 ti = "17/71094/96046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71094/96046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71094 ÷ 217
    71094 ÷ 131072     		x = 0.542404174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96046 ÷ 217
    96046 ÷ 131072     		y = 0.732772827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542404174804688 × 2 - 1) × π
    0.084808349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26643329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732772827148438 × 2 - 1) × π
    -0.465545654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.46255480740791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26643329} λ = 0.26643329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46255480740791))-π/2
    2×atan(0.2316437130375)-π/2
    2×0.2276289556872-π/2
    0.4552579113744-1.57079632675     		φ = -1.11553842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26643329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.265503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11553842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.915643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71094 KachelY 96046 0.26643329 -1.11553842 15.265503 -63.915643
    Oben rechts KachelX + 1 71095 KachelY 96046 0.26648122 -1.11553842 15.268249 -63.915643
    Unten links KachelX 71094 KachelY + 1 96047 0.26643329 -1.11555949 15.265503 -63.916851
    Unten rechts KachelX + 1 71095 KachelY + 1 96047 0.26648122 -1.11555949 15.268249 -63.916851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11553842--1.11555949) × R
    2.10700000000674e-05 × 6371000     		dl = 134.23697000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11553842--1.11555949) × R
    2.10700000000674e-05 × 6371000     		dr = 134.23697000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26643329-0.26648122) × cos(-1.11553842) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.439693966810424 × 6371000     		do = 134.265842284066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26643329-0.26648122) × cos(-1.11555949) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.439675042741672 × 6371000     		du = 134.260063592016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11553842)-sin(-1.11555949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439693966810424-0.439675042741672)×R²
    abs(0.26648122-0.26643329)×1.89240687524239e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.89240687524239e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.89240687524239e-05×40589641000000     		ar = 18023.0519863893m²