Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71086 / 95829
↖ ↑ ↗
← S 63.652355°
E 15.243530°		 ← 135.55 m → S 63.652355°
E 15.246277°		 →
↑
135.51 m
↓
↑
135.51 m
↓
S 63.653574°
E 15.243530°		 ← 135.55 m →
18 369 m²		 S 63.653574°
E 15.246277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542346954345703 y=0.731121063232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542346954345703 × 217)
    floor (0.542346954345703 × 131072)
    floor (71086.5)     		tx = 71086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731121063232422 × 217)
    floor (0.731121063232422 × 131072)
    floor (95829.5)     		ty = 95829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71086 / 95829 ti = "17/71086/95829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71086/95829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71086 ÷ 217
    71086 ÷ 131072     		x = 0.542343139648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95829 ÷ 217
    95829 ÷ 131072     		y = 0.731117248535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542343139648438 × 2 - 1) × π
    0.084686279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26604979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731117248535156 × 2 - 1) × π
    -0.462234497070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.45215250019036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26604979} λ = 0.26604979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45215250019036))-π/2
    2×atan(0.234065918526557)-π/2
    2×0.229926579959186-π/2
    0.459853159918371-1.57079632675     		φ = -1.11094317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26604979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.243530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11094317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.652355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71086 KachelY 95829 0.26604979 -1.11094317 15.243530 -63.652355
    Oben rechts KachelX + 1 71087 KachelY 95829 0.26609773 -1.11094317 15.246277 -63.652355
    Unten links KachelX 71086 KachelY + 1 95830 0.26604979 -1.11096444 15.243530 -63.653574
    Unten rechts KachelX + 1 71087 KachelY + 1 95830 0.26609773 -1.11096444 15.246277 -63.653574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11094317--1.11096444) × R
    2.12699999999622e-05 × 6371000     		dl = 135.511169999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11094317--1.11096444) × R
    2.12699999999622e-05 × 6371000     		dr = 135.511169999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26604979-0.26609773) × cos(-1.11094317) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.443816522958905 × 6371000     		do = 135.552989948862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26604979-0.26609773) × cos(-1.11096444) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.443797462435488 × 6371000     		du = 135.547168374392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11094317)-sin(-1.11096444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443816522958905-0.443797462435488)×R²
    abs(0.26609773-0.26604979)×1.90605234171026e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90605234171026e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90605234171026e-05×40589641000000     		ar = 18368.5498214248m²