Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71085 / 96106
↖ ↑ ↗
← S 63.988009°
E 15.240784°		 ← 133.92 m → S 63.988009°
E 15.243530°		 →
↑
133.92 m
↓
↑
133.92 m
↓
S 63.989213°
E 15.240784°		 ← 133.91 m →
17 934 m²		 S 63.989213°
E 15.243530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542339324951172 y=0.733234405517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542339324951172 × 217)
    floor (0.542339324951172 × 131072)
    floor (71085.5)     		tx = 71085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733234405517578 × 217)
    floor (0.733234405517578 × 131072)
    floor (96106.5)     		ty = 96106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71085 / 96106 ti = "17/71085/96106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71085/96106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71085 ÷ 217
    71085 ÷ 131072     		x = 0.542335510253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96106 ÷ 217
    96106 ÷ 131072     		y = 0.733230590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542335510253906 × 2 - 1) × π
    0.0846710205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.26600186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733230590820312 × 2 - 1) × π
    -0.466461181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.46543102138512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26600186} λ = 0.26600186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46543102138512))-π/2
    2×atan(0.230978413383059)-π/2
    2×0.226997444913969-π/2
    0.453994889827939-1.57079632675     		φ = -1.11680144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26600186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.240784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11680144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.988009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71085 KachelY 96106 0.26600186 -1.11680144 15.240784 -63.988009
    Oben rechts KachelX + 1 71086 KachelY 96106 0.26604979 -1.11680144 15.243530 -63.988009
    Unten links KachelX 71085 KachelY + 1 96107 0.26600186 -1.11682246 15.240784 -63.989213
    Unten rechts KachelX + 1 71086 KachelY + 1 96107 0.26604979 -1.11682246 15.243530 -63.989213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11680144--1.11682246) × R
    2.10200000001493e-05 × 6371000     		dl = 133.918420000951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11680144--1.11682246) × R
    2.10200000001493e-05 × 6371000     		dr = 133.918420000951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26600186-0.26604979) × cos(-1.11680144) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.438559237952876 × 6371000     		do = 133.919339176625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26600186-0.26604979) × cos(-1.11682246) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.438540347133986 × 6371000     		du = 133.913570637821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11680144)-sin(-1.11682246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438559237952876-0.438540347133986)×R²
    abs(0.26604979-0.26600186)×1.88908188896164e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.88908188896164e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.88908188896164e-05×40589641000000     		ar = 17933.8800540112m²