Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71083 / 95850
↖ ↑ ↗
← S 63.677941°
E 15.235290°		 ← 135.43 m → S 63.677941°
E 15.238037°		 →
↑
135.45 m
↓
↑
135.45 m
↓
S 63.679160°
E 15.235290°		 ← 135.42 m →
18 343 m²		 S 63.679160°
E 15.238037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542324066162109 y=0.731281280517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542324066162109 × 217)
    floor (0.542324066162109 × 131072)
    floor (71083.5)     		tx = 71083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731281280517578 × 217)
    floor (0.731281280517578 × 131072)
    floor (95850.5)     		ty = 95850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71083 / 95850 ti = "17/71083/95850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71083/95850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71083 ÷ 217
    71083 ÷ 131072     		x = 0.542320251464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95850 ÷ 217
    95850 ÷ 131072     		y = 0.731277465820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542320251464844 × 2 - 1) × π
    0.0846405029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26590598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731277465820312 × 2 - 1) × π
    -0.462554931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45315917508238
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26590598} λ = 0.26590598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45315917508238))-π/2
    2×atan(0.233830408804049)-π/2
    2×0.229703291219475-π/2
    0.459406582438951-1.57079632675     		φ = -1.11138974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26590598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.235290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11138974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.677941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71083 KachelY 95850 0.26590598 -1.11138974 15.235290 -63.677941
    Oben rechts KachelX + 1 71084 KachelY 95850 0.26595392 -1.11138974 15.238037 -63.677941
    Unten links KachelX 71083 KachelY + 1 95851 0.26590598 -1.11141100 15.235290 -63.679160
    Unten rechts KachelX + 1 71084 KachelY + 1 95851 0.26595392 -1.11141100 15.238037 -63.679160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11138974--1.11141100) × R
    2.12600000000229e-05 × 6371000     		dl = 135.447460000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11138974--1.11141100) × R
    2.12600000000229e-05 × 6371000     		dr = 135.447460000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26590598-0.26595392) × cos(-1.11138974) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.443416299446459 × 6371000     		do = 135.430751386564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26590598-0.26595392) × cos(-1.11141100) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.443397243672675 × 6371000     		du = 135.424931262755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11138974)-sin(-1.11141100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443416299446459-0.443397243672675)×R²
    abs(0.26595392-0.26590598)×1.90557737845265e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90557737845265e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90557737845265e-05×40589641000000     		ar = 18343.3571213314m²