Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71082 / 96073
↖ ↑ ↗
← S 63.948231°
E 15.232544°		 ← 134.11 m → S 63.948231°
E 15.235290°		 →
↑
134.11 m
↓
↑
134.11 m
↓
S 63.949437°
E 15.232544°		 ← 134.10 m →
17 985 m²		 S 63.949437°
E 15.235290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542316436767578 y=0.732982635498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542316436767578 × 217)
    floor (0.542316436767578 × 131072)
    floor (71082.5)     		tx = 71082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732982635498047 × 217)
    floor (0.732982635498047 × 131072)
    floor (96073.5)     		ty = 96073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71082 / 96073 ti = "17/71082/96073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71082/96073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71082 ÷ 217
    71082 ÷ 131072     		x = 0.542312622070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96073 ÷ 217
    96073 ÷ 131072     		y = 0.732978820800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542312622070312 × 2 - 1) × π
    0.084625244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.26585805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732978820800781 × 2 - 1) × π
    -0.465957641601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.46384910369765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26585805} λ = 0.26585805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46384910369765))-π/2
    2×atan(0.2313440913806)-π/2
    2×0.227344573889514-π/2
    0.454689147779027-1.57079632675     		φ = -1.11610718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26585805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.232544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11610718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.948231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71082 KachelY 96073 0.26585805 -1.11610718 15.232544 -63.948231
    Oben rechts KachelX + 1 71083 KachelY 96073 0.26590598 -1.11610718 15.235290 -63.948231
    Unten links KachelX 71082 KachelY + 1 96074 0.26585805 -1.11612823 15.232544 -63.949437
    Unten rechts KachelX + 1 71083 KachelY + 1 96074 0.26590598 -1.11612823 15.235290 -63.949437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11610718--1.11612823) × R
    2.10499999999669e-05 × 6371000     		dl = 134.109549999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11610718--1.11612823) × R
    2.10499999999669e-05 × 6371000     		dr = 134.109549999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26585805-0.26590598) × cos(-1.11610718) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.439183065258163 × 6371000     		do = 134.109832348782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26585805-0.26590598) × cos(-1.11612823) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.439164153891529 × 6371000     		du = 134.104057535476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11610718)-sin(-1.11612823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439183065258163-0.439164153891529)×R²
    abs(0.26590598-0.26585805)×1.89113666337337e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.89113666337337e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.89113666337337e-05×40589641000000     		ar = 17985.0220385827m²