Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71079 / 96266
↖ ↑ ↗
← S 64.180072°
E 15.224304°		 ← 133.03 m → S 64.180072°
E 15.227051°		 →
↑
133.03 m
↓
↑
133.03 m
↓
S 64.181268°
E 15.224304°		 ← 133.02 m →
17 696 m²		 S 64.181268°
E 15.227051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542293548583984 y=0.734455108642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542293548583984 × 217)
    floor (0.542293548583984 × 131072)
    floor (71079.5)     		tx = 71079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734455108642578 × 217)
    floor (0.734455108642578 × 131072)
    floor (96266.5)     		ty = 96266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71079 / 96266 ti = "17/71079/96266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71079/96266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71079 ÷ 217
    71079 ÷ 131072     		x = 0.542289733886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96266 ÷ 217
    96266 ÷ 131072     		y = 0.734451293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542289733886719 × 2 - 1) × π
    0.0845794677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26571423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734451293945312 × 2 - 1) × π
    -0.468902587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47310092532433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26571423} λ = 0.26571423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47310092532433))-π/2
    2×atan(0.229213607736842)-π/2
    2×0.225321377614157-π/2
    0.450642755228314-1.57079632675     		φ = -1.12015357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26571423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.224304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12015357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.180072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71079 KachelY 96266 0.26571423 -1.12015357 15.224304 -64.180072
    Oben rechts KachelX + 1 71080 KachelY 96266 0.26576217 -1.12015357 15.227051 -64.180072
    Unten links KachelX 71079 KachelY + 1 96267 0.26571423 -1.12017445 15.224304 -64.181268
    Unten rechts KachelX + 1 71080 KachelY + 1 96267 0.26576217 -1.12017445 15.227051 -64.181268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12015357--1.12017445) × R
    2.08799999998899e-05 × 6371000     		dl = 133.026479999298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12015357--1.12017445) × R
    2.08799999998899e-05 × 6371000     		dr = 133.026479999298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26571423-0.26576217) × cos(-1.12015357) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.435544212714839 × 6371000     		do = 133.026413471214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26571423-0.26576217) × cos(-1.12017445) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.435525417125852 × 6371000     		du = 133.020672814539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12015357)-sin(-1.12017445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435544212714839-0.435525417125852)×R²
    abs(0.26576217-0.26571423)×1.87955889864866e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.87955889864866e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.87955889864866e-05×40589641000000     		ar = 17695.6537019853m²