Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71077 / 95819
↖ ↑ ↗
← S 63.640162°
E 15.218811°		 ← 135.61 m → S 63.640162°
E 15.221558°		 →
↑
135.57 m
↓
↑
135.57 m
↓
S 63.641382°
E 15.218811°		 ← 135.61 m →
18 385 m²		 S 63.641382°
E 15.221558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542278289794922 y=0.731044769287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542278289794922 × 217)
    floor (0.542278289794922 × 131072)
    floor (71077.5)     		tx = 71077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731044769287109 × 217)
    floor (0.731044769287109 × 131072)
    floor (95819.5)     		ty = 95819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71077 / 95819 ti = "17/71077/95819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71077/95819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71077 ÷ 217
    71077 ÷ 131072     		x = 0.542274475097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95819 ÷ 217
    95819 ÷ 131072     		y = 0.731040954589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542274475097656 × 2 - 1) × π
    0.0845489501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.26561836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731040954589844 × 2 - 1) × π
    -0.462081909179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.45167313119416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26561836} λ = 0.26561836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45167313119416))-π/2
    2×atan(0.23417814936881)-π/2
    2×0.230032978750891-π/2
    0.460065957501782-1.57079632675     		φ = -1.11073037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26561836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.218811°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11073037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.640162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71077 KachelY 95819 0.26561836 -1.11073037 15.218811 -63.640162
    Oben rechts KachelX + 1 71078 KachelY 95819 0.26566630 -1.11073037 15.221558 -63.640162
    Unten links KachelX 71077 KachelY + 1 95820 0.26561836 -1.11075165 15.218811 -63.641382
    Unten rechts KachelX + 1 71078 KachelY + 1 95820 0.26566630 -1.11075165 15.221558 -63.641382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11073037--1.11075165) × R
    2.12800000001234e-05 × 6371000     		dl = 135.574880000786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11073037--1.11075165) × R
    2.12800000001234e-05 × 6371000     		dr = 135.574880000786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26561836-0.26566630) × cos(-1.11073037) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.444007206750619 × 6371000     		do = 135.611229687209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26561836-0.26566630) × cos(-1.11075165) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.443988139276091 × 6371000     		du = 135.605405989691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11073037)-sin(-1.11075165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444007206750619-0.443988139276091)×R²
    abs(0.26566630-0.26561836)×1.90674745282338e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90674745282338e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90674745282338e-05×40589641000000     		ar = 18385.0814189051m²