Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71073 / 96091
↖ ↑ ↗
← S 63.969935°
E 15.207825°		 ← 134.03 m → S 63.969935°
E 15.210571°		 →
↑
133.98 m
↓
↑
133.98 m
↓
S 63.971140°
E 15.207825°		 ← 134.03 m →
17 958 m²		 S 63.971140°
E 15.210571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542247772216797 y=0.733119964599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542247772216797 × 217)
    floor (0.542247772216797 × 131072)
    floor (71073.5)     		tx = 71073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733119964599609 × 217)
    floor (0.733119964599609 × 131072)
    floor (96091.5)     		ty = 96091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71073 / 96091 ti = "17/71073/96091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71073/96091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71073 ÷ 217
    71073 ÷ 131072     		x = 0.542243957519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96091 ÷ 217
    96091 ÷ 131072     		y = 0.733116149902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542243957519531 × 2 - 1) × π
    0.0844879150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.26542661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733116149902344 × 2 - 1) × π
    -0.466232299804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.46471196789082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26542661} λ = 0.26542661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46471196789082))-π/2
    2×atan(0.231144558944925)-π/2
    2×0.227155169645145-π/2
    0.45431033929029-1.57079632675     		φ = -1.11648599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26542661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.207825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11648599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.969935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71073 KachelY 96091 0.26542661 -1.11648599 15.207825 -63.969935
    Oben rechts KachelX + 1 71074 KachelY 96091 0.26547455 -1.11648599 15.210571 -63.969935
    Unten links KachelX 71073 KachelY + 1 96092 0.26542661 -1.11650702 15.207825 -63.971140
    Unten rechts KachelX + 1 71074 KachelY + 1 96092 0.26547455 -1.11650702 15.210571 -63.971140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11648599--1.11650702) × R
    2.10300000000885e-05 × 6371000     		dl = 133.982130000564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11648599--1.11650702) × R
    2.10300000000885e-05 × 6371000     		dr = 133.982130000564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26542661-0.26547455) × cos(-1.11648599) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.438842711763351 × 6371000     		do = 134.03385998384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26542661-0.26547455) × cos(-1.11650702) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.438823814867588 × 6371000     		du = 134.028088385468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11648599)-sin(-1.11650702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438842711763351-0.438823814867588)×R²
    abs(0.26547455-0.26542661)×1.88968957629543e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88968957629543e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88968957629543e-05×40589641000000     		ar = 17957.7554080187m²