Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71072 / 95905
↖ ↑ ↗
← S 63.744846°
E 15.205078°		 ← 135.08 m → S 63.744846°
E 15.207825°		 →
↑
135.13 m
↓
↑
135.13 m
↓
S 63.746061°
E 15.205078°		 ← 135.08 m →
18 253 m²		 S 63.746061°
E 15.207825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542240142822266 y=0.731700897216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542240142822266 × 217)
    floor (0.542240142822266 × 131072)
    floor (71072.5)     		tx = 71072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731700897216797 × 217)
    floor (0.731700897216797 × 131072)
    floor (95905.5)     		ty = 95905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71072 / 95905 ti = "17/71072/95905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71072/95905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71072 ÷ 217
    71072 ÷ 131072     		x = 0.542236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95905 ÷ 217
    95905 ÷ 131072     		y = 0.731697082519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542236328125 × 2 - 1) × π
    0.08447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.26537868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731697082519531 × 2 - 1) × π
    -0.463394165039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.45579570456149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26537868} λ = 0.26537868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45579570456149))-π/2
    2×atan(0.233214720035573)-π/2
    2×0.229119441422865-π/2
    0.458238882845729-1.57079632675     		φ = -1.11255744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26537868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.205078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11255744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.744846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71072 KachelY 95905 0.26537868 -1.11255744 15.205078 -63.744846
    Oben rechts KachelX + 1 71073 KachelY 95905 0.26542661 -1.11255744 15.207825 -63.744846
    Unten links KachelX 71072 KachelY + 1 95906 0.26537868 -1.11257865 15.205078 -63.746061
    Unten rechts KachelX + 1 71073 KachelY + 1 95906 0.26542661 -1.11257865 15.207825 -63.746061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11255744--1.11257865) × R
    2.12099999998827e-05 × 6371000     		dl = 135.128909999253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11255744--1.11257865) × R
    2.12099999998827e-05 × 6371000     		dr = 135.128909999253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26537868-0.26542661) × cos(-1.11255744) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.442369369438661 × 6371000     		do = 135.082808661692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26537868-0.26542661) × cos(-1.11257865) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.44235034751228 × 6371000     		du = 135.077000087638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11255744)-sin(-1.11257865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442369369438661-0.44235034751228)×R²
    abs(0.26542661-0.26537868)×1.90219263802027e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.90219263802027e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.90219263802027e-05×40589641000000     		ar = 18253.2002415424m²