Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71071 / 95903
↖ ↑ ↗
← S 63.742416°
E 15.202332°		 ← 135.12 m → S 63.742416°
E 15.205078°		 →
↑
135.13 m
↓
↑
135.13 m
↓
S 63.743631°
E 15.202332°		 ← 135.12 m →
18 259 m²		 S 63.743631°
E 15.205078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542232513427734 y=0.731685638427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542232513427734 × 217)
    floor (0.542232513427734 × 131072)
    floor (71071.5)     		tx = 71071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731685638427734 × 217)
    floor (0.731685638427734 × 131072)
    floor (95903.5)     		ty = 95903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71071 / 95903 ti = "17/71071/95903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71071/95903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71071 ÷ 217
    71071 ÷ 131072     		x = 0.542228698730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95903 ÷ 217
    95903 ÷ 131072     		y = 0.731681823730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542228698730469 × 2 - 1) × π
    0.0844573974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26533074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731681823730469 × 2 - 1) × π
    -0.463363647460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.45569983076225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26533074} λ = 0.26533074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45569983076225))-π/2
    2×atan(0.233237080288686)-π/2
    2×0.22914064815044-π/2
    0.45828129630088-1.57079632675     		φ = -1.11251503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26533074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.202332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11251503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.742416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71071 KachelY 95903 0.26533074 -1.11251503 15.202332 -63.742416
    Oben rechts KachelX + 1 71072 KachelY 95903 0.26537868 -1.11251503 15.205078 -63.742416
    Unten links KachelX 71071 KachelY + 1 95904 0.26533074 -1.11253624 15.202332 -63.743631
    Unten rechts KachelX + 1 71072 KachelY + 1 95904 0.26537868 -1.11253624 15.205078 -63.743631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11251503--1.11253624) × R
    2.12100000001048e-05 × 6371000     		dl = 135.128910000667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11251503--1.11253624) × R
    2.12100000001048e-05 × 6371000     		dr = 135.128910000667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26533074-0.26537868) × cos(-1.11251503) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.442407403726252 × 6371000     		do = 135.122608664481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26533074-0.26537868) × cos(-1.11253624) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.442388382197799 × 6371000     		du = 135.116799000077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11251503)-sin(-1.11253624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442407403726252-0.442388382197799)×R²
    abs(0.26537868-0.26533074)×1.90215284534556e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90215284534556e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90215284534556e-05×40589641000000     		ar = 18258.5782991148m²