Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71071 / 75951
↖ ↑ ↗
← S 27.486344°
E 15.202332°		 ← 270.95 m → S 27.486344°
E 15.205078°		 →
↑
270.96 m
↓
↑
270.96 m
↓
S 27.488781°
E 15.202332°		 ← 270.94 m →
73 415 m²		 S 27.488781°
E 15.205078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542232513427734 y=0.579463958740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542232513427734 × 217)
    floor (0.542232513427734 × 131072)
    floor (71071.5)     		tx = 71071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579463958740234 × 217)
    floor (0.579463958740234 × 131072)
    floor (75951.5)     		ty = 75951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71071 / 75951 ti = "17/71071/75951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71071/75951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71071 ÷ 217
    71071 ÷ 131072     		x = 0.542228698730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75951 ÷ 217
    75951 ÷ 131072     		y = 0.579460144042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542228698730469 × 2 - 1) × π
    0.0844573974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26533074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579460144042969 × 2 - 1) × π
    -0.158920288085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.499262809542885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26533074} λ = 0.26533074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.499262809542885))-π/2
    2×atan(0.606977953176901)-π/2
    2×0.5455345567012-π/2
    1.0910691134024-1.57079632675     		φ = -0.47972721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26533074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.202332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47972721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.486344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71071 KachelY 75951 0.26533074 -0.47972721 15.202332 -27.486344
    Oben rechts KachelX + 1 71072 KachelY 75951 0.26537868 -0.47972721 15.205078 -27.486344
    Unten links KachelX 71071 KachelY + 1 75952 0.26533074 -0.47976974 15.202332 -27.488781
    Unten rechts KachelX + 1 71072 KachelY + 1 75952 0.26537868 -0.47976974 15.205078 -27.488781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47972721--0.47976974) × R
    4.25299999999851e-05 × 6371000     		dl = 270.958629999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47972721--0.47976974) × R
    4.25299999999851e-05 × 6371000     		dr = 270.958629999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26533074-0.26537868) × cos(-0.47972721) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887120858516428 × 6371000     		do = 270.949544681638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26533074-0.26537868) × cos(-0.47976974) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887101228537217 × 6371000     		du = 270.943549180711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47972721)-sin(-0.47976974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887120858516428-0.887101228537217)×R²
    abs(0.26537868-0.26533074)×1.9629979210678e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9629979210678e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9629979210678e-05×40589641000000     		ar = 73415.3051707596m²