Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7107 / 9189
↖ ↑ ↗
← N 78.092630°
W140.960083°		 ← 126.02 m → N 78.092630°
W140.954590°		 →
↑
126.02 m
↓
↑
126.02 m
↓
N 78.091496°
W140.960083°		 ← 126.04 m →
15 882 m²		 N 78.091496°
W140.954590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108451843261719 y=0.140220642089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108451843261719 × 216)
    floor (0.108451843261719 × 65536)
    floor (7107.5)     		tx = 7107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140220642089844 × 216)
    floor (0.140220642089844 × 65536)
    floor (9189.5)     		ty = 9189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7107 / 9189 ti = "16/7107/9189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7107/9189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7107 ÷ 216
    7107 ÷ 65536     		x = 0.108444213867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9189 ÷ 216
    9189 ÷ 65536     		y = 0.140213012695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108444213867188 × 2 - 1) × π
    -0.783111572265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.46021756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140213012695312 × 2 - 1) × π
    0.719573974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26060831228261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46021756} λ = -2.46021756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26060831228261))-π/2
    2×atan(9.58892045105096)-π/2
    2×1.46688492007313-π/2
    2.93376984014626-1.57079632675     		φ = 1.36297351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46021756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.960083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36297351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.092630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7107 KachelY 9189 -2.46021756 1.36297351 -140.960083 78.092630
    Oben rechts KachelX + 1 7108 KachelY 9189 -2.46012169 1.36297351 -140.954590 78.092630
    Unten links KachelX 7107 KachelY + 1 9190 -2.46021756 1.36295373 -140.960083 78.091496
    Unten rechts KachelX + 1 7108 KachelY + 1 9190 -2.46012169 1.36295373 -140.954590 78.091496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36297351-1.36295373) × R
    1.97799999999138e-05 × 6371000     		dl = 126.018379999451m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36297351-1.36295373) × R
    1.97799999999138e-05 × 6371000     		dr = 126.018379999451m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46021756--2.46012169) × cos(1.36297351) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206330054983749 × 6371000     		do = 126.023874167499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46021756--2.46012169) × cos(1.36295373) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20634940932628 × 6371000     		du = 126.035695563213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36297351)-sin(1.36295373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206330054983749-0.20634940932628)×R²
    abs(-2.46012169--2.46021756)×1.93543425313913e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.93543425313913e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.93543425313913e-05×40589641000000     		ar = 15882.069320986m²