Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7107 / 9187
↖ ↑ ↗
← N 78.094896°
W140.960083°		 ← 126 m → N 78.094896°
W140.954590°		 →
↑
126.02 m
↓
↑
126.02 m
↓
N 78.093763°
W140.960083°		 ← 126.01 m →
15 879 m²		 N 78.093763°
W140.954590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108451843261719 y=0.140190124511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108451843261719 × 216)
    floor (0.108451843261719 × 65536)
    floor (7107.5)     		tx = 7107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140190124511719 × 216)
    floor (0.140190124511719 × 65536)
    floor (9187.5)     		ty = 9187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7107 / 9187 ti = "16/7107/9187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7107/9187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7107 ÷ 216
    7107 ÷ 65536     		x = 0.108444213867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9187 ÷ 216
    9187 ÷ 65536     		y = 0.140182495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108444213867188 × 2 - 1) × π
    -0.783111572265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.46021756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140182495117188 × 2 - 1) × π
    0.719635009765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26080005988109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46021756} λ = -2.46021756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26080005988109))-π/2
    2×atan(9.59075927980933)-π/2
    2×1.46690469986346-π/2
    2.93380939972693-1.57079632675     		φ = 1.36301307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46021756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.960083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36301307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.094896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7107 KachelY 9187 -2.46021756 1.36301307 -140.960083 78.094896
    Oben rechts KachelX + 1 7108 KachelY 9187 -2.46012169 1.36301307 -140.954590 78.094896
    Unten links KachelX 7107 KachelY + 1 9188 -2.46021756 1.36299329 -140.960083 78.093763
    Unten rechts KachelX + 1 7108 KachelY + 1 9188 -2.46012169 1.36299329 -140.954590 78.093763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36301307-1.36299329) × R
    1.97800000001358e-05 × 6371000     		dl = 126.018380000865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36301307-1.36299329) × R
    1.97800000001358e-05 × 6371000     		dr = 126.018380000865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46021756--2.46012169) × cos(1.36301307) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206291346056515 × 6371000     		do = 126.000231228154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46021756--2.46012169) × cos(1.36299329) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206310700560491 × 6371000     		du = 126.012052722477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36301307)-sin(1.36299329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206291346056515-0.206310700560491)×R²
    abs(-2.46012169--2.46021756)×1.93545039766374e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.93545039766374e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.93545039766374e-05×40589641000000     		ar = 15879.0898823039m²