Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71066 / 95902
↖ ↑ ↗
← S 63.741201°
E 15.188598°		 ← 135.13 m → S 63.741201°
E 15.191345°		 →
↑
135.13 m
↓
↑
135.13 m
↓
S 63.742416°
E 15.188598°		 ← 135.12 m →
18 259 m²		 S 63.742416°
E 15.191345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542194366455078 y=0.731678009033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542194366455078 × 217)
    floor (0.542194366455078 × 131072)
    floor (71066.5)     		tx = 71066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731678009033203 × 217)
    floor (0.731678009033203 × 131072)
    floor (95902.5)     		ty = 95902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71066 / 95902 ti = "17/71066/95902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71066/95902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71066 ÷ 217
    71066 ÷ 131072     		x = 0.542190551757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95902 ÷ 217
    95902 ÷ 131072     		y = 0.731674194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542190551757812 × 2 - 1) × π
    0.084381103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.26509105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731674194335938 × 2 - 1) × π
    -0.463348388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45565189386263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26509105} λ = 0.26509105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45565189386263))-π/2
    2×atan(0.233248261219179)-π/2
    2×0.229151252198015-π/2
    0.45830250439603-1.57079632675     		φ = -1.11249382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26509105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.188598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11249382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.741201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71066 KachelY 95902 0.26509105 -1.11249382 15.188598 -63.741201
    Oben rechts KachelX + 1 71067 KachelY 95902 0.26513899 -1.11249382 15.191345 -63.741201
    Unten links KachelX 71066 KachelY + 1 95903 0.26509105 -1.11251503 15.188598 -63.742416
    Unten rechts KachelX + 1 71067 KachelY + 1 95903 0.26513899 -1.11251503 15.191345 -63.742416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11249382--1.11251503) × R
    2.12099999998827e-05 × 6371000     		dl = 135.128909999253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11249382--1.11251503) × R
    2.12099999998827e-05 × 6371000     		dr = 135.128909999253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26509105-0.26513899) × cos(-1.11249382) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.442426425055683 × 6371000     		do = 135.128418268254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26509105-0.26513899) × cos(-1.11251503) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.442407403726252 × 6371000     		du = 135.122608664637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11249382)-sin(-1.11251503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442426425055683-0.442407403726252)×R²
    abs(0.26513899-0.26509105)×1.90213294301023e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90213294301023e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90213294301023e-05×40589641000000     		ar = 18259.363348416m²