Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71064 / 62614
↖ ↑ ↗
← N  7.999397°
E 15.183105°		 ← 302.45 m → N  7.999397°
E 15.185852°		 →
↑
302.43 m
↓
↑
302.43 m
↓
N  7.996677°
E 15.183105°		 ← 302.46 m →
91 472 m²		 N  7.996677°
E 15.185852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542179107666016 y=0.477710723876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542179107666016 × 217)
    floor (0.542179107666016 × 131072)
    floor (71064.5)     		tx = 71064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.477710723876953 × 217)
    floor (0.477710723876953 × 131072)
    floor (62614.5)     		ty = 62614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71064 / 62614 ti = "17/71064/62614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71064/62614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71064 ÷ 217
    71064 ÷ 131072     		x = 0.54217529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62614 ÷ 217
    62614 ÷ 131072     		y = 0.477706909179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54217529296875 × 2 - 1) × π
    0.0843505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26499518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.477706909179688 × 2 - 1) × π
    0.044586181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.140071620689804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26499518} λ = 0.26499518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.140071620689804))-π/2
    2×atan(1.15035618521041)-π/2
    2×0.855206072927646-π/2
    1.71041214585529-1.57079632675     		φ = 0.13961582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26499518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.183105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13961582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.999397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71064 KachelY 62614 0.26499518 0.13961582 15.183105 7.999397
    Oben rechts KachelX + 1 71065 KachelY 62614 0.26504312 0.13961582 15.185852 7.999397
    Unten links KachelX 71064 KachelY + 1 62615 0.26499518 0.13956835 15.183105 7.996677
    Unten rechts KachelX + 1 71065 KachelY + 1 62615 0.26504312 0.13956835 15.185852 7.996677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13961582-0.13956835) × R
    4.74699999999939e-05 × 6371000     		dl = 302.431369999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13961582-0.13956835) × R
    4.74699999999939e-05 × 6371000     		dr = 302.431369999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26499518-0.26504312) × cos(0.13961582) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.990269532809999 × 6371000     		do = 302.4538048581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26499518-0.26504312) × cos(0.13956835) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.990276137746829 × 6371000     		du = 302.455822175819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13961582)-sin(0.13956835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990269532809999-0.990276137746829)×R²
    abs(0.26504312-0.26499518)×6.60493683068974e-06×R²
    4.79400000000241e-05×6.60493683068974e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×6.60493683068974e-06×40589641000000     		ar = 91471.8236321695m²