Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7106 / 5514
↖ ↑ ↗
← N 50.597186°
W 23.862304°		 ← 1 550.88 m → N 50.597186°
W 23.840332°		 →
↑
1 551.08 m
↓
↑
1 551.08 m
↓
N 50.583237°
W 23.862304°		 ← 1 551.34 m →
2 405 894 m²		 N 50.583237°
W 23.840332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433746337890625 y=0.336578369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433746337890625 × 214)
    floor (0.433746337890625 × 16384)
    floor (7106.5)     		tx = 7106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336578369140625 × 214)
    floor (0.336578369140625 × 16384)
    floor (5514.5)     		ty = 5514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7106 / 5514 ti = "14/7106/5514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7106/5514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7106 ÷ 214
    7106 ÷ 16384     		x = 0.4337158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5514 ÷ 214
    5514 ÷ 16384     		y = 0.3365478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4337158203125 × 2 - 1) × π
    -0.132568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41647578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3365478515625 × 2 - 1) × π
    0.326904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02700013746008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41647578} λ = -0.41647578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02700013746008))-π/2
    2×atan(2.79267561327728)-π/2
    2×1.22694190937237-π/2
    2.45388381874475-1.57079632675     		φ = 0.88308749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41647578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.862304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88308749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.597186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7106 KachelY 5514 -0.41647578 0.88308749 -23.862304 50.597186
    Oben rechts KachelX + 1 7107 KachelY 5514 -0.41609229 0.88308749 -23.840332 50.597186
    Unten links KachelX 7106 KachelY + 1 5515 -0.41647578 0.88284403 -23.862304 50.583237
    Unten rechts KachelX + 1 7107 KachelY + 1 5515 -0.41609229 0.88284403 -23.840332 50.583237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88308749-0.88284403) × R
    0.000243459999999973 × 6371000     		dl = 1551.08365999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88308749-0.88284403) × R
    0.000243459999999973 × 6371000     		dr = 1551.08365999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41647578--0.41609229) × cos(0.88308749) × R
    0.000383490000000042 × 0.634768462548737 × 6371000     		do = 1550.8756959248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41647578--0.41609229) × cos(0.88284403) × R
    0.000383490000000042 × 0.634956565860937 × 6371000     		du = 1551.33527271922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88308749)-sin(0.88284403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634768462548737-0.634956565860937)×R²
    abs(-0.41609229--0.41647578)×0.000188103312200649×R²
    0.000383490000000042×0.000188103312200649×6371000²
    0.000383490000000042×0.000188103312200649×40589641000000     		ar = 2405894.38355209m²