Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7106 / 4949
↖ ↑ ↗
← N 77.261748°
W101.931152°		 ← 269.37 m → N 77.261748°
W101.920166°		 →
↑
269.37 m
↓
↑
269.37 m
↓
N 77.259326°
W101.931152°		 ← 269.42 m →
72 565 m²		 N 77.259326°
W101.920166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.216873168945312 y=0.151046752929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.216873168945312 × 215)
    floor (0.216873168945312 × 32768)
    floor (7106.5)     		tx = 7106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151046752929688 × 215)
    floor (0.151046752929688 × 32768)
    floor (4949.5)     		ty = 4949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7106 / 4949 ti = "15/7106/4949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7106/4949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7106 ÷ 215
    7106 ÷ 32768     		x = 0.21685791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4949 ÷ 215
    4949 ÷ 32768     		y = 0.151031494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21685791015625 × 2 - 1) × π
    -0.5662841796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.77903422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151031494140625 × 2 - 1) × π
    0.69793701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19263378862137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77903422} λ = -1.77903422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19263378862137))-π/2
    2×atan(8.95877759563871)-π/2
    2×1.45963410860174-π/2
    2.91926821720349-1.57079632675     		φ = 1.34847189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77903422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.931152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34847189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.261748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7106 KachelY 4949 -1.77903422 1.34847189 -101.931152 77.261748
    Oben rechts KachelX + 1 7107 KachelY 4949 -1.77884247 1.34847189 -101.920166 77.261748
    Unten links KachelX 7106 KachelY + 1 4950 -1.77903422 1.34842961 -101.931152 77.259326
    Unten rechts KachelX + 1 7107 KachelY + 1 4950 -1.77884247 1.34842961 -101.920166 77.259326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34847189-1.34842961) × R
    4.22799999999501e-05 × 6371000     		dl = 269.365879999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34847189-1.34842961) × R
    4.22799999999501e-05 × 6371000     		dr = 269.365879999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77903422--1.77884247) × cos(1.34847189) × R
    0.000191749999999935 × 0.220497443429671 × 6371000     		do = 269.36833141825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77903422--1.77884247) × cos(1.34842961) × R
    0.000191749999999935 × 0.220538682618295 × 6371000     		du = 269.418710829711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34847189)-sin(1.34842961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220497443429671-0.220538682618295)×R²
    abs(-1.77884247--1.77903422)×4.1239188624087e-05×R²
    0.000191749999999935×4.1239188624087e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.1239188624087e-05×40589641000000     		ar = 72565.4228941125m²