Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71055 / 96399
↖ ↑ ↗
← S 64.338718°
E 15.158386°		 ← 132.26 m → S 64.338718°
E 15.161133°		 →
↑
132.26 m
↓
↑
132.26 m
↓
S 64.339908°
E 15.158386°		 ← 132.26 m →
17 493 m²		 S 64.339908°
E 15.161133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542110443115234 y=0.735469818115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542110443115234 × 217)
    floor (0.542110443115234 × 131072)
    floor (71055.5)     		tx = 71055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735469818115234 × 217)
    floor (0.735469818115234 × 131072)
    floor (96399.5)     		ty = 96399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71055 / 96399 ti = "17/71055/96399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71055/96399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71055 ÷ 217
    71055 ÷ 131072     		x = 0.542106628417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96399 ÷ 217
    96399 ÷ 131072     		y = 0.735466003417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542106628417969 × 2 - 1) × π
    0.0842132568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26456375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735466003417969 × 2 - 1) × π
    -0.470932006835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.47947653297379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26456375} λ = 0.26456375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47947653297379))-π/2
    2×atan(0.227756880401427)-π/2
    2×0.223936926449604-π/2
    0.447873852899208-1.57079632675     		φ = -1.12292247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26456375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.158386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12292247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.338718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71055 KachelY 96399 0.26456375 -1.12292247 15.158386 -64.338718
    Oben rechts KachelX + 1 71056 KachelY 96399 0.26461169 -1.12292247 15.161133 -64.338718
    Unten links KachelX 71055 KachelY + 1 96400 0.26456375 -1.12294323 15.158386 -64.339908
    Unten rechts KachelX + 1 71056 KachelY + 1 96400 0.26461169 -1.12294323 15.161133 -64.339908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12292247--1.12294323) × R
    2.0759999999953e-05 × 6371000     		dl = 132.261959999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12292247--1.12294323) × R
    2.0759999999953e-05 × 6371000     		dr = 132.261959999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26456375-0.26461169) × cos(-1.12292247) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.433050072938203 × 6371000     		do = 132.264638984271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26456375-0.26461169) × cos(-1.12294323) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.433031360406481 × 6371000     		du = 132.258923695422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12292247)-sin(-1.12294323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433050072938203-0.433031360406481)×R²
    abs(0.26461169-0.26456375)×1.87125317226422e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.87125317226422e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.87125317226422e-05×40589641000000     		ar = 17493.2024336958m²