Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71054 / 96400
↖ ↑ ↗
← S 64.339908°
E 15.155640°		 ← 132.26 m → S 64.339908°
E 15.158386°		 →
↑
132.26 m
↓
↑
132.26 m
↓
S 64.341097°
E 15.155640°		 ← 132.25 m →
17 492 m²		 S 64.341097°
E 15.158386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542102813720703 y=0.735477447509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542102813720703 × 217)
    floor (0.542102813720703 × 131072)
    floor (71054.5)     		tx = 71054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735477447509766 × 217)
    floor (0.735477447509766 × 131072)
    floor (96400.5)     		ty = 96400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71054 / 96400 ti = "17/71054/96400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71054/96400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71054 ÷ 217
    71054 ÷ 131072     		x = 0.542098999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96400 ÷ 217
    96400 ÷ 131072     		y = 0.7354736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542098999023438 × 2 - 1) × π
    0.084197998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26451581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7354736328125 × 2 - 1) × π
    -0.470947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47952446987341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26451581} λ = 0.26451581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47952446987341))-π/2
    2×atan(0.227745962704396)-π/2
    2×0.223926547134991-π/2
    0.447853094269982-1.57079632675     		φ = -1.12294323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26451581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.155640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12294323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.339908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71054 KachelY 96400 0.26451581 -1.12294323 15.155640 -64.339908
    Oben rechts KachelX + 1 71055 KachelY 96400 0.26456375 -1.12294323 15.158386 -64.339908
    Unten links KachelX 71054 KachelY + 1 96401 0.26451581 -1.12296399 15.155640 -64.341097
    Unten rechts KachelX + 1 71055 KachelY + 1 96401 0.26456375 -1.12296399 15.158386 -64.341097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12294323--1.12296399) × R
    2.0759999999953e-05 × 6371000     		dl = 132.261959999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12294323--1.12296399) × R
    2.0759999999953e-05 × 6371000     		dr = 132.261959999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26451581-0.26456375) × cos(-1.12294323) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433031360406481 × 6371000     		do = 132.258923695269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26451581-0.26456375) × cos(-1.12296399) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433012647688131 × 6371000     		du = 132.25320834942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12294323)-sin(-1.12296399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433031360406481-0.433012647688131)×R²
    abs(0.26456375-0.26451581)×1.87127183494673e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87127183494673e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87127183494673e-05×40589641000000     		ar = 17492.4465145115m²