Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71053 / 95821
↖ ↑ ↗
← S 63.642601°
E 15.152893°		 ← 135.57 m → S 63.642601°
E 15.155640°		 →
↑
135.57 m
↓
↑
135.57 m
↓
S 63.643821°
E 15.152893°		 ← 135.57 m →
18 380 m²		 S 63.643821°
E 15.155640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542095184326172 y=0.731060028076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542095184326172 × 217)
    floor (0.542095184326172 × 131072)
    floor (71053.5)     		tx = 71053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731060028076172 × 217)
    floor (0.731060028076172 × 131072)
    floor (95821.5)     		ty = 95821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71053 / 95821 ti = "17/71053/95821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71053/95821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71053 ÷ 217
    71053 ÷ 131072     		x = 0.542091369628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95821 ÷ 217
    95821 ÷ 131072     		y = 0.731056213378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542091369628906 × 2 - 1) × π
    0.0841827392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.26446788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731056213378906 × 2 - 1) × π
    -0.462112426757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.4517690049934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26446788} λ = 0.26446788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4517690049934))-π/2
    2×atan(0.234155698896154)-π/2
    2×0.230011695336157-π/2
    0.460023390672314-1.57079632675     		φ = -1.11077294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26446788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.152893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11077294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.642601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71053 KachelY 95821 0.26446788 -1.11077294 15.152893 -63.642601
    Oben rechts KachelX + 1 71054 KachelY 95821 0.26451581 -1.11077294 15.155640 -63.642601
    Unten links KachelX 71053 KachelY + 1 95822 0.26446788 -1.11079422 15.152893 -63.643821
    Unten rechts KachelX + 1 71054 KachelY + 1 95822 0.26451581 -1.11079422 15.155640 -63.643821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11077294--1.11079422) × R
    2.12800000001234e-05 × 6371000     		dl = 135.574880000786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11077294--1.11079422) × R
    2.12800000001234e-05 × 6371000     		dr = 135.574880000786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26446788-0.26451581) × cos(-1.11077294) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.443969062640087 × 6371000     		do = 135.571294225057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26446788-0.26451581) × cos(-1.11079422) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.443949994763363 × 6371000     		du = 135.565471619513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11077294)-sin(-1.11079422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443969062640087-0.443949994763363)×R²
    abs(0.26451581-0.26446788)×1.90678767238439e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.90678767238439e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.90678767238439e-05×40589641000000     		ar = 18379.667247282m²