Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71052 / 96375
↖ ↑ ↗
← S 64.310158°
E 15.150147°		 ← 132.40 m → S 64.310158°
E 15.152893°		 →
↑
132.39 m
↓
↑
132.39 m
↓
S 64.311349°
E 15.150147°		 ← 132.40 m →
17 528 m²		 S 64.311349°
E 15.152893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542087554931641 y=0.735286712646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542087554931641 × 217)
    floor (0.542087554931641 × 131072)
    floor (71052.5)     		tx = 71052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735286712646484 × 217)
    floor (0.735286712646484 × 131072)
    floor (96375.5)     		ty = 96375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71052 / 96375 ti = "17/71052/96375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71052/96375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71052 ÷ 217
    71052 ÷ 131072     		x = 0.542083740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96375 ÷ 217
    96375 ÷ 131072     		y = 0.735282897949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542083740234375 × 2 - 1) × π
    0.08416748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26441994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735282897949219 × 2 - 1) × π
    -0.470565795898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.47832604738291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26441994} λ = 0.26441994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47832604738291))-π/2
    2×atan(0.228019062199825)-π/2
    2×0.224186164581054-π/2
    0.448372329162108-1.57079632675     		φ = -1.12242400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26441994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.150147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12242400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.310158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71052 KachelY 96375 0.26441994 -1.12242400 15.150147 -64.310158
    Oben rechts KachelX + 1 71053 KachelY 96375 0.26446788 -1.12242400 15.152893 -64.310158
    Unten links KachelX 71052 KachelY + 1 96376 0.26441994 -1.12244478 15.150147 -64.311349
    Unten rechts KachelX + 1 71053 KachelY + 1 96376 0.26446788 -1.12244478 15.152893 -64.311349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12242400--1.12244478) × R
    2.07799999998315e-05 × 6371000     		dl = 132.389379998926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12242400--1.12244478) × R
    2.07799999998315e-05 × 6371000     		dr = 132.389379998926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26441994-0.26446788) × cos(-1.12242400) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433499324955942 × 6371000     		do = 132.401852114082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26441994-0.26446788) × cos(-1.12244478) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433480598884494 × 6371000     		du = 132.396132689853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12242400)-sin(-1.12244478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433499324955942-0.433480598884494)×R²
    abs(0.26446788-0.26441994)×1.87260714478166e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87260714478166e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87260714478166e-05×40589641000000     		ar = 17528.2205171042m²