Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71042 / 96358
↖ ↑ ↗
← S 64.289910°
E 15.122681°		 ← 132.50 m → S 64.289910°
E 15.125427°		 →
↑
132.45 m
↓
↑
132.45 m
↓
S 64.291101°
E 15.122681°		 ← 132.49 m →
17 550 m²		 S 64.291101°
E 15.125427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542011260986328 y=0.735157012939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542011260986328 × 217)
    floor (0.542011260986328 × 131072)
    floor (71042.5)     		tx = 71042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735157012939453 × 217)
    floor (0.735157012939453 × 131072)
    floor (96358.5)     		ty = 96358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71042 / 96358 ti = "17/71042/96358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71042/96358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71042 ÷ 217
    71042 ÷ 131072     		x = 0.542007446289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96358 ÷ 217
    96358 ÷ 131072     		y = 0.735153198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542007446289062 × 2 - 1) × π
    0.084014892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.26394057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735153198242188 × 2 - 1) × π
    -0.470306396484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47751112008937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26394057} λ = 0.26394057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47751112008937))-π/2
    2×atan(0.228204956892101)-π/2
    2×0.224362864668179-π/2
    0.448725729336359-1.57079632675     		φ = -1.12207060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26394057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.122681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12207060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.289910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71042 KachelY 96358 0.26394057 -1.12207060 15.122681 -64.289910
    Oben rechts KachelX + 1 71043 KachelY 96358 0.26398851 -1.12207060 15.125427 -64.289910
    Unten links KachelX 71042 KachelY + 1 96359 0.26394057 -1.12209139 15.122681 -64.291101
    Unten rechts KachelX + 1 71043 KachelY + 1 96359 0.26398851 -1.12209139 15.125427 -64.291101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12207060--1.12209139) × R
    2.07899999999928e-05 × 6371000     		dl = 132.453089999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12207060--1.12209139) × R
    2.07899999999928e-05 × 6371000     		dr = 132.453089999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26394057-0.26398851) × cos(-1.12207060) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.433817765664189 × 6371000     		do = 132.499112103198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26394057-0.26398851) × cos(-1.12209139) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.433799033767213 × 6371000     		du = 132.493390899703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12207060)-sin(-1.12209139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433817765664189-0.433799033767213)×R²
    abs(0.26398851-0.26394057)×1.87318969757655e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.87318969757655e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.87318969757655e-05×40589641000000     		ar = 17549.5379254016m²