Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71041 / 95617
↖ ↑ ↗
← S 63.392752°
E 15.119934°		 ← 136.79 m → S 63.392752°
E 15.122681°		 →
↑
136.79 m
↓
↑
136.79 m
↓
S 63.393982°
E 15.119934°		 ← 136.79 m →
18 711 m²		 S 63.393982°
E 15.122681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542003631591797 y=0.729503631591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542003631591797 × 217)
    floor (0.542003631591797 × 131072)
    floor (71041.5)     		tx = 71041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729503631591797 × 217)
    floor (0.729503631591797 × 131072)
    floor (95617.5)     		ty = 95617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71041 / 95617 ti = "17/71041/95617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71041/95617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71041 ÷ 217
    71041 ÷ 131072     		x = 0.541999816894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95617 ÷ 217
    95617 ÷ 131072     		y = 0.729499816894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541999816894531 × 2 - 1) × π
    0.0839996337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.26389263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729499816894531 × 2 - 1) × π
    -0.458999633789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.44198987747091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26389263} λ = 0.26389263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44198987747091))-π/2
    2×atan(0.23645677023295)-π/2
    2×0.232192042233066-π/2
    0.464384084466132-1.57079632675     		φ = -1.10641224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26389263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.119934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10641224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.392752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71041 KachelY 95617 0.26389263 -1.10641224 15.119934 -63.392752
    Oben rechts KachelX + 1 71042 KachelY 95617 0.26394057 -1.10641224 15.122681 -63.392752
    Unten links KachelX 71041 KachelY + 1 95618 0.26389263 -1.10643371 15.119934 -63.393982
    Unten rechts KachelX + 1 71042 KachelY + 1 95618 0.26394057 -1.10643371 15.122681 -63.393982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10641224--1.10643371) × R
    2.14699999998569e-05 × 6371000     		dl = 136.785369999088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10641224--1.10643371) × R
    2.14699999998569e-05 × 6371000     		dr = 136.785369999088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26389263-0.26394057) × cos(-1.10641224) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447872199920792 × 6371000     		do = 136.791698086146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26389263-0.26394057) × cos(-1.10643371) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447853003542406 × 6371000     		du = 136.785835018072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10641224)-sin(-1.10643371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447872199920792-0.447853003542406)×R²
    abs(0.26394057-0.26389263)×1.91963783865434e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91963783865434e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91963783865434e-05×40589641000000     		ar = 18710.702045343m²