Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71037 / 96350
↖ ↑ ↗
← S 64.280376°
E 15.108947°		 ← 132.54 m → S 64.280376°
E 15.111694°		 →
↑
132.52 m
↓
↑
132.52 m
↓
S 64.281567°
E 15.108947°		 ← 132.54 m →
17 564 m²		 S 64.281567°
E 15.111694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541973114013672 y=0.735095977783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541973114013672 × 217)
    floor (0.541973114013672 × 131072)
    floor (71037.5)     		tx = 71037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735095977783203 × 217)
    floor (0.735095977783203 × 131072)
    floor (96350.5)     		ty = 96350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71037 / 96350 ti = "17/71037/96350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71037/96350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71037 ÷ 217
    71037 ÷ 131072     		x = 0.541969299316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96350 ÷ 217
    96350 ÷ 131072     		y = 0.735092163085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541969299316406 × 2 - 1) × π
    0.0839385986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.26370088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735092163085938 × 2 - 1) × π
    -0.470184326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47712762489241
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26370088} λ = 0.26370088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47712762489241))-π/2
    2×atan(0.228292489180025)-π/2
    2×0.22444606255581-π/2
    0.448892125111619-1.57079632675     		φ = -1.12190420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26370088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.108947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12190420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.280376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71037 KachelY 96350 0.26370088 -1.12190420 15.108947 -64.280376
    Oben rechts KachelX + 1 71038 KachelY 96350 0.26374882 -1.12190420 15.111694 -64.280376
    Unten links KachelX 71037 KachelY + 1 96351 0.26370088 -1.12192500 15.108947 -64.281567
    Unten rechts KachelX + 1 71038 KachelY + 1 96351 0.26374882 -1.12192500 15.111694 -64.281567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12190420--1.12192500) × R
    2.0800000000154e-05 × 6371000     		dl = 132.516800000981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12190420--1.12192500) × R
    2.0800000000154e-05 × 6371000     		dr = 132.516800000981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26370088-0.26374882) × cos(-1.12190420) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433967686163358 × 6371000     		do = 132.544901682444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26370088-0.26374882) × cos(-1.12192500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433948946758008 × 6371000     		du = 132.539178185698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12190420)-sin(-1.12192500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433967686163358-0.433948946758008)×R²
    abs(0.26374882-0.26370088)×1.87394053500767e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87394053500767e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87394053500767e-05×40589641000000     		ar = 17564.0469984088m²