Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7103 / 10687
↖ ↑ ↗
← S 47.975214°
W 23.928223°		 ← 1 635.66 m → S 47.975214°
W 23.906250°		 →
↑
1 635.37 m
↓
↑
1 635.37 m
↓
S 47.989922°
W 23.928223°		 ← 1 635.19 m →
2 674 528 m²		 S 47.989922°
W 23.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433563232421875 y=0.652313232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433563232421875 × 214)
    floor (0.433563232421875 × 16384)
    floor (7103.5)     		tx = 7103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652313232421875 × 214)
    floor (0.652313232421875 × 16384)
    floor (10687.5)     		ty = 10687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7103 / 10687 ti = "14/7103/10687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7103/10687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7103 ÷ 214
    7103 ÷ 16384     		x = 0.43353271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10687 ÷ 214
    10687 ÷ 16384     		y = 0.65228271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43353271484375 × 2 - 1) × π
    -0.1329345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.41762627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65228271484375 × 2 - 1) × π
    -0.3045654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.956820516416321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41762627} λ = -0.41762627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.956820516416321))-π/2
    2×atan(0.384112225027424)-π/2
    2×0.366735440505154-π/2
    0.733470881010307-1.57079632675     		φ = -0.83732545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41762627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.928223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83732545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.975214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7103 KachelY 10687 -0.41762627 -0.83732545 -23.928223 -47.975214
    Oben rechts KachelX + 1 7104 KachelY 10687 -0.41724277 -0.83732545 -23.906250 -47.975214
    Unten links KachelX 7103 KachelY + 1 10688 -0.41762627 -0.83758214 -23.928223 -47.989922
    Unten rechts KachelX + 1 7104 KachelY + 1 10688 -0.41724277 -0.83758214 -23.906250 -47.989922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83732545--0.83758214) × R
    0.000256689999999948 × 6371000     		dl = 1635.37198999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83732545--0.83758214) × R
    0.000256689999999948 × 6371000     		dr = 1635.37198999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41762627--0.41724277) × cos(-0.83732545) × R
    0.000383500000000037 × 0.669452021471425 × 6371000     		do = 1635.65773084283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41762627--0.41724277) × cos(-0.83758214) × R
    0.000383500000000037 × 0.669261315892548 × 6371000     		du = 1635.19178400213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83732545)-sin(-0.83758214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669452021471425-0.669261315892548)×R²
    abs(-0.41724277--0.41762627)×0.000190705578877681×R²
    0.000383500000000037×0.000190705578877681×6371000²
    0.000383500000000037×0.000190705578877681×40589641000000     		ar = 2674527.85472538m²