Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71029 / 95793
↖ ↑ ↗
← S 63.608438°
E 15.086975°		 ← 135.76 m → S 63.608438°
E 15.089722°		 →
↑
135.77 m
↓
↑
135.77 m
↓
S 63.609659°
E 15.086975°		 ← 135.76 m →
18 432 m²		 S 63.609659°
E 15.089722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541912078857422 y=0.730846405029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541912078857422 × 217)
    floor (0.541912078857422 × 131072)
    floor (71029.5)     		tx = 71029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730846405029297 × 217)
    floor (0.730846405029297 × 131072)
    floor (95793.5)     		ty = 95793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71029 / 95793 ti = "17/71029/95793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71029/95793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71029 ÷ 217
    71029 ÷ 131072     		x = 0.541908264160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95793 ÷ 217
    95793 ÷ 131072     		y = 0.730842590332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541908264160156 × 2 - 1) × π
    0.0838165283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.26331739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730842590332031 × 2 - 1) × π
    -0.461685180664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.45042677180404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26331739} λ = 0.26331739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45042677180404))-π/2
    2×atan(0.234470201467368)-π/2
    2×0.230309829573009-π/2
    0.460619659146018-1.57079632675     		φ = -1.11017667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26331739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.086975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11017667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.608438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71029 KachelY 95793 0.26331739 -1.11017667 15.086975 -63.608438
    Oben rechts KachelX + 1 71030 KachelY 95793 0.26336533 -1.11017667 15.089722 -63.608438
    Unten links KachelX 71029 KachelY + 1 95794 0.26331739 -1.11019798 15.086975 -63.609659
    Unten rechts KachelX + 1 71030 KachelY + 1 95794 0.26336533 -1.11019798 15.089722 -63.609659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11017667--1.11019798) × R
    2.13099999999411e-05 × 6371000     		dl = 135.766009999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11017667--1.11019798) × R
    2.13099999999411e-05 × 6371000     		dr = 135.766009999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26331739-0.26336533) × cos(-1.11017667) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.444503266716279 × 6371000     		do = 135.762739169305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26331739-0.26336533) × cos(-1.11019798) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.44448417760258 × 6371000     		du = 135.756908862628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11017667)-sin(-1.11019798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444503266716279-0.44448417760258)×R²
    abs(0.26336533-0.26331739)×1.90891136989113e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90891136989113e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90891136989113e-05×40589641000000     		ar = 18431.5696257013m²