Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71028 / 95795
↖ ↑ ↗
← S 63.610879°
E 15.084228°		 ← 135.75 m → S 63.610879°
E 15.086975°		 →
↑
135.77 m
↓
↑
135.77 m
↓
S 63.612100°
E 15.084228°		 ← 135.75 m →
18 430 m²		 S 63.612100°
E 15.086975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541904449462891 y=0.730861663818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541904449462891 × 217)
    floor (0.541904449462891 × 131072)
    floor (71028.5)     		tx = 71028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730861663818359 × 217)
    floor (0.730861663818359 × 131072)
    floor (95795.5)     		ty = 95795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71028 / 95795 ti = "17/71028/95795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71028/95795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71028 ÷ 217
    71028 ÷ 131072     		x = 0.541900634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95795 ÷ 217
    95795 ÷ 131072     		y = 0.730857849121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541900634765625 × 2 - 1) × π
    0.08380126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.26326945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730857849121094 × 2 - 1) × π
    -0.461715698242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.45052264560328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26326945} λ = 0.26326945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45052264560328))-π/2
    2×atan(0.23444772299591)-π/2
    2×0.230288522379398-π/2
    0.460577044758796-1.57079632675     		φ = -1.11021928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26326945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.084228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11021928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.610879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71028 KachelY 95795 0.26326945 -1.11021928 15.084228 -63.610879
    Oben rechts KachelX + 1 71029 KachelY 95795 0.26331739 -1.11021928 15.086975 -63.610879
    Unten links KachelX 71028 KachelY + 1 95796 0.26326945 -1.11024059 15.084228 -63.612100
    Unten rechts KachelX + 1 71029 KachelY + 1 95796 0.26331739 -1.11024059 15.086975 -63.612100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11021928--1.11024059) × R
    2.13100000001631e-05 × 6371000     		dl = 135.766010001039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11021928--1.11024059) × R
    2.13100000001631e-05 × 6371000     		dr = 135.766010001039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26326945-0.26331739) × cos(-1.11021928) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.444465097244995 × 6371000     		do = 135.751081230136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26326945-0.26331739) × cos(-1.11024059) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.444446007727705 × 6371000     		du = 135.745250800191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11021928)-sin(-1.11024059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444465097244995-0.444446007727705)×R²
    abs(0.26331739-0.26326945)×1.90895172906269e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90895172906269e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90895172906269e-05×40589641000000     		ar = 18429.9868655434m²