Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71027 / 95792
↖ ↑ ↗
← S 63.607217°
E 15.081482°		 ← 135.74 m → S 63.607217°
E 15.084228°		 →
↑
135.77 m
↓
↑
135.77 m
↓
S 63.608438°
E 15.081482°		 ← 135.73 m →
18 429 m²		 S 63.608438°
E 15.084228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541896820068359 y=0.730838775634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541896820068359 × 217)
    floor (0.541896820068359 × 131072)
    floor (71027.5)     		tx = 71027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730838775634766 × 217)
    floor (0.730838775634766 × 131072)
    floor (95792.5)     		ty = 95792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71027 / 95792 ti = "17/71027/95792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71027/95792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71027 ÷ 217
    71027 ÷ 131072     		x = 0.541893005371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95792 ÷ 217
    95792 ÷ 131072     		y = 0.7308349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541893005371094 × 2 - 1) × π
    0.0837860107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26322152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7308349609375 × 2 - 1) × π
    -0.461669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45037883490442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26322152} λ = 0.26322152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45037883490442))-π/2
    2×atan(0.234481441511284)-π/2
    2×0.230320483856047-π/2
    0.460640967712095-1.57079632675     		φ = -1.11015536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26322152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.081482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11015536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.607217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71027 KachelY 95792 0.26322152 -1.11015536 15.081482 -63.607217
    Oben rechts KachelX + 1 71028 KachelY 95792 0.26326945 -1.11015536 15.084228 -63.607217
    Unten links KachelX 71027 KachelY + 1 95793 0.26322152 -1.11017667 15.081482 -63.608438
    Unten rechts KachelX + 1 71028 KachelY + 1 95793 0.26326945 -1.11017667 15.084228 -63.608438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11015536--1.11017667) × R
    2.13099999999411e-05 × 6371000     		dl = 135.766009999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11015536--1.11017667) × R
    2.13099999999411e-05 × 6371000     		dr = 135.766009999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26322152-0.26326945) × cos(-1.11015536) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.444522355628122 × 6371000     		do = 135.740248895068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26322152-0.26326945) × cos(-1.11017667) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.444503266716279 × 6371000     		du = 135.734419866197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11015536)-sin(-1.11017667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444522355628122-0.444503266716279)×R²
    abs(0.26326945-0.26322152)×1.90889118428794e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.90889118428794e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.90889118428794e-05×40589641000000     		ar = 18428.5162975761m²