Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71023 / 62767
↖ ↑ ↗
← N  7.583051°
E 15.070496°		 ← 302.75 m → N  7.583051°
E 15.073242°		 →
↑
302.75 m
↓
↑
302.75 m
↓
N  7.580328°
E 15.070496°		 ← 302.76 m →
91 659 m²		 N  7.580328°
E 15.073242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541866302490234 y=0.478878021240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541866302490234 × 217)
    floor (0.541866302490234 × 131072)
    floor (71023.5)     		tx = 71023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478878021240234 × 217)
    floor (0.478878021240234 × 131072)
    floor (62767.5)     		ty = 62767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71023 / 62767 ti = "17/71023/62767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71023/62767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71023 ÷ 217
    71023 ÷ 131072     		x = 0.541862487792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62767 ÷ 217
    62767 ÷ 131072     		y = 0.478874206542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541862487792969 × 2 - 1) × π
    0.0837249755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26302977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478874206542969 × 2 - 1) × π
    0.0422515869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.132737275047935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26302977} λ = 0.26302977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.132737275047935))-π/2
    2×atan(1.14194994017295)-π/2
    2×0.851572761476932-π/2
    1.70314552295386-1.57079632675     		φ = 0.13234920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26302977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.070496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13234920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.583051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71023 KachelY 62767 0.26302977 0.13234920 15.070496 7.583051
    Oben rechts KachelX + 1 71024 KachelY 62767 0.26307771 0.13234920 15.073242 7.583051
    Unten links KachelX 71023 KachelY + 1 62768 0.26302977 0.13230168 15.070496 7.580328
    Unten rechts KachelX + 1 71024 KachelY + 1 62768 0.26307771 0.13230168 15.073242 7.580328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13234920-0.13230168) × R
    4.75199999999953e-05 × 6371000     		dl = 302.74991999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13234920-0.13230168) × R
    4.75199999999953e-05 × 6371000     		dr = 302.74991999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26302977-0.26307771) × cos(0.13234920) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.991254621381854 × 6371000     		do = 302.754676264125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26302977-0.26307771) × cos(0.13230168) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.991260891152012 × 6371000     		du = 302.756591213315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13234920)-sin(0.13230168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991254621381854-0.991260891152012)×R²
    abs(0.26307771-0.26302977)×6.2697701583847e-06×R²
    4.79400000000241e-05×6.2697701583847e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×6.2697701583847e-06×40589641000000     		ar = 91659.2439111975m²