Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71021 / 96419
↖ ↑ ↗
← S 64.362497°
E 15.065002°		 ← 132.15 m → S 64.362497°
E 15.067749°		 →
↑
132.13 m
↓
↑
132.13 m
↓
S 64.363685°
E 15.065002°		 ← 132.14 m →
17 461 m²		 S 64.363685°
E 15.067749°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541851043701172 y=0.735622406005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541851043701172 × 217)
    floor (0.541851043701172 × 131072)
    floor (71021.5)     		tx = 71021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735622406005859 × 217)
    floor (0.735622406005859 × 131072)
    floor (96419.5)     		ty = 96419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71021 / 96419 ti = "17/71021/96419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71021/96419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71021 ÷ 217
    71021 ÷ 131072     		x = 0.541847229003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96419 ÷ 217
    96419 ÷ 131072     		y = 0.735618591308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541847229003906 × 2 - 1) × π
    0.0836944580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.26293389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735618591308594 × 2 - 1) × π
    -0.471237182617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.48043527096619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26293389} λ = 0.26293389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48043527096619))-π/2
    2×atan(0.22753862586833)-π/2
    2×0.223729425350286-π/2
    0.447458850700573-1.57079632675     		φ = -1.12333748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26293389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.065002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12333748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.362497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71021 KachelY 96419 0.26293389 -1.12333748 15.065002 -64.362497
    Oben rechts KachelX + 1 71022 KachelY 96419 0.26298183 -1.12333748 15.067749 -64.362497
    Unten links KachelX 71021 KachelY + 1 96420 0.26293389 -1.12335822 15.065002 -64.363685
    Unten rechts KachelX + 1 71022 KachelY + 1 96420 0.26298183 -1.12335822 15.067749 -64.363685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12333748--1.12335822) × R
    2.07400000000746e-05 × 6371000     		dl = 132.134540000475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12333748--1.12335822) × R
    2.07400000000746e-05 × 6371000     		dr = 132.134540000475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26293389-0.26298183) × cos(-1.12333748) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.432675958148263 × 6371000     		do = 132.150374697709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26293389-0.26298183) × cos(-1.12335822) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.432657259918413 × 6371000     		du = 132.14466377702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12333748)-sin(-1.12335822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432675958148263-0.432657259918413)×R²
    abs(0.26298183-0.26293389)×1.86982298504001e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.86982298504001e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.86982298504001e-05×40589641000000     		ar = 17461.2516672247m²