Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71019 / 96405
↖ ↑ ↗
← S 64.345854°
E 15.059509°		 ← 132.23 m → S 64.345854°
E 15.062256°		 →
↑
132.26 m
↓
↑
132.26 m
↓
S 64.347043°
E 15.059509°		 ← 132.22 m →
17 489 m²		 S 64.347043°
E 15.062256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541835784912109 y=0.735515594482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541835784912109 × 217)
    floor (0.541835784912109 × 131072)
    floor (71019.5)     		tx = 71019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735515594482422 × 217)
    floor (0.735515594482422 × 131072)
    floor (96405.5)     		ty = 96405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71019 / 96405 ti = "17/71019/96405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71019/96405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71019 ÷ 217
    71019 ÷ 131072     		x = 0.541831970214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96405 ÷ 217
    96405 ÷ 131072     		y = 0.735511779785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541831970214844 × 2 - 1) × π
    0.0836639404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26283802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735511779785156 × 2 - 1) × π
    -0.471023559570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.47976415437151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26283802} λ = 0.26283802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47976415437151))-π/2
    2×atan(0.227691382068958)-π/2
    2×0.223874657288729-π/2
    0.447749314577459-1.57079632675     		φ = -1.12304701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26283802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.059509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12304701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.345854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71019 KachelY 96405 0.26283802 -1.12304701 15.059509 -64.345854
    Oben rechts KachelX + 1 71020 KachelY 96405 0.26288596 -1.12304701 15.062256 -64.345854
    Unten links KachelX 71019 KachelY + 1 96406 0.26283802 -1.12306777 15.059509 -64.347043
    Unten rechts KachelX + 1 71020 KachelY + 1 96406 0.26288596 -1.12306777 15.062256 -64.347043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12304701--1.12306777) × R
    2.0759999999953e-05 × 6371000     		dl = 132.261959999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12304701--1.12306777) × R
    2.0759999999953e-05 × 6371000     		dr = 132.261959999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26283802-0.26288596) × cos(-1.12304701) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.432937812977102 × 6371000     		do = 132.230351902426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26283802-0.26288596) × cos(-1.12306777) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.432919099325919 × 6371000     		du = 132.224636271666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12304701)-sin(-1.12306777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432937812977102-0.432919099325919)×R²
    abs(0.26288596-0.26283802)×1.87136511827779e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87136511827779e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87136511827779e-05×40589641000000     		ar = 17488.6675343898m²