Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71018 / 96408
↖ ↑ ↗
← S 64.349421°
E 15.056762°		 ← 132.21 m → S 64.349421°
E 15.059509°		 →
↑
132.20 m
↓
↑
132.20 m
↓
S 64.350610°
E 15.056762°		 ← 132.21 m →
17 478 m²		 S 64.350610°
E 15.059509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541828155517578 y=0.735538482666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541828155517578 × 217)
    floor (0.541828155517578 × 131072)
    floor (71018.5)     		tx = 71018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735538482666016 × 217)
    floor (0.735538482666016 × 131072)
    floor (96408.5)     		ty = 96408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71018 / 96408 ti = "17/71018/96408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71018/96408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71018 ÷ 217
    71018 ÷ 131072     		x = 0.541824340820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96408 ÷ 217
    96408 ÷ 131072     		y = 0.73553466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541824340820312 × 2 - 1) × π
    0.083648681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.26279008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73553466796875 × 2 - 1) × π
    -0.4710693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47990796507037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26279008} λ = 0.26279008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47990796507037))-π/2
    2×atan(0.227658639966567)-π/2
    2×0.223843528761877-π/2
    0.447687057523754-1.57079632675     		φ = -1.12310927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26279008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.056762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12310927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.349421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71018 KachelY 96408 0.26279008 -1.12310927 15.056762 -64.349421
    Oben rechts KachelX + 1 71019 KachelY 96408 0.26283802 -1.12310927 15.059509 -64.349421
    Unten links KachelX 71018 KachelY + 1 96409 0.26279008 -1.12313002 15.056762 -64.350610
    Unten rechts KachelX + 1 71019 KachelY + 1 96409 0.26283802 -1.12313002 15.059509 -64.350610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12310927--1.12313002) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dl = 132.198250000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12310927--1.12313002) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dr = 132.198250000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26279008-0.26283802) × cos(-1.12310927) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.432881689492841 × 6371000     		do = 132.213210345868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26279008-0.26283802) × cos(-1.12313002) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.432862984296724 × 6371000     		du = 132.207497297502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12310927)-sin(-1.12313002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432881689492841-0.432862984296724)×R²
    abs(0.26283802-0.26279008)×1.87051961169638e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.87051961169638e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.87051961169638e-05×40589641000000     		ar = 17477.9774077036m²