Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71011 / 96411
↖ ↑ ↗
← S 64.352988°
E 15.037537°		 ← 132.17 m → S 64.352988°
E 15.040283°		 →
↑
132.20 m
↓
↑
132.20 m
↓
S 64.354177°
E 15.037537°		 ← 132.16 m →
17 472 m²		 S 64.354177°
E 15.040283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541774749755859 y=0.735561370849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541774749755859 × 217)
    floor (0.541774749755859 × 131072)
    floor (71011.5)     		tx = 71011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735561370849609 × 217)
    floor (0.735561370849609 × 131072)
    floor (96411.5)     		ty = 96411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71011 / 96411 ti = "17/71011/96411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71011/96411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71011 ÷ 217
    71011 ÷ 131072     		x = 0.541770935058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96411 ÷ 217
    96411 ÷ 131072     		y = 0.735557556152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541770935058594 × 2 - 1) × π
    0.0835418701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26245453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735557556152344 × 2 - 1) × π
    -0.471115112304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.48005177576923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26245453} λ = 0.26245453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48005177576923))-π/2
    2×atan(0.227625902572502)-π/2
    2×0.223812404270211-π/2
    0.447624808540422-1.57079632675     		φ = -1.12317152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26245453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.037537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12317152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.352988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71011 KachelY 96411 0.26245453 -1.12317152 15.037537 -64.352988
    Oben rechts KachelX + 1 71012 KachelY 96411 0.26250246 -1.12317152 15.040283 -64.352988
    Unten links KachelX 71011 KachelY + 1 96412 0.26245453 -1.12319227 15.037537 -64.354177
    Unten rechts KachelX + 1 71012 KachelY + 1 96412 0.26250246 -1.12319227 15.040283 -64.354177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12317152--1.12319227) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dl = 132.198250000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12317152--1.12319227) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dr = 132.198250000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26245453-0.26250246) × cos(-1.12317152) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.432825573345375 × 6371000     		do = 132.168495712585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26245453-0.26250246) × cos(-1.12319227) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.432806867590158 × 6371000     		du = 132.1627836852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12317152)-sin(-1.12319227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432825573345375-0.432806867590158)×R²
    abs(0.26250246-0.26245453)×1.87057552165082e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.87057552165082e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.87057552165082e-05×40589641000000     		ar = 17472.0662790651m²